Cтраница 4
Рассматривая прохождение параксиальных лучей через электронные линзы, мы установили, что пучки лучей, исходящих из одной точки объекта, сходятся в точности в одной точке изображения ( стигматические пучки лучей) и что плоскому объекту соответствует неискаженное плоское изображение. Теорию, принимающую во внимание только параксиальные лучи, называют теорией первого порядка или, заимствуя название из оптики, гауссовой электронной оптикой. Надо сказать, что теория первого порядка часто хорошо оправдывается: опыт показывает, что электронные линзы действительно могут давать отчетливое, малоискаженное изображение. Тем не менее при тщательном исследовании обнаруживаются отступления от простых законов теории первого порядка, приводящие к искажениям изображения или аберрациям. Аберрации имеют первостепенное значение в вопросах качества изображения и разрешающей силы электроннооптиче-ских приборов. Как и в оптике, исследование аберраций требует очень громоздких и утомительных вычислений, так что мы вынуждены здесь ограничиться немногими замечаниями. [46]
В данной статье мы предлагаем новый подход к доказательству теорем логики первого порядка, основанный на методе переписывающих правил для термов. Сначала рассматривается пропозициональное исчисление и вводится каноническая переписывающая система для булевой алгебры. Эта система позволяет преобразовать исчисление предикатов первого порядка в некоторую форму эквациональной логики и разработать для теорий первого порядка несколько полных стратегий ( работающих как с дизъюнктами, так и с формулами более общего вида), основанных на процедуре пополнения Кнута - Бендикса. Что более важно, наши стратегии могут единообразно и эффективно работать с логикой предикатов и встроенными ( эквациональными) теориями. Мы описываем также реализацию этих стратегий и сравниваем их с некоторыми другими методами доказательства теорем первого порядка. [47]
Для теорий первого порядка предполагается, что нелогические константы имеют интерпретацию в некотором непустом поле D. В общих словах, это означает, что каждая предметная константа ицтерпретиру-ется как некоторый фиксированный элемент поля D, каждая предметная переменная имеет D в качестве своей области изменения, символы отношений интерпретируются как подмножества множества D ( для какого-либо п) и символы операций интерпретируются как функции, определенные на Dn ( для какого-либо п) со значениями в D. Подробнее это описывается оценочной процедурой ( являющейся обобщением аналогич ной процедуры для исчисления предикатов, описанной в § 2.8) для теорий первого порядка. [48]
Цель этой главы - доказать теорему Геделя о полноте ( первая форма) - теорему, обратную к теореме 14: любое непротиворечивое множество замкнутых формул имеет модель. Достаточно доказать эту теорему только для теорий. Действительно, пусть Г - произвольное непротиворечивое множество замкнутых формул. Тогда Т - теория первого порядка, причем Т непротиворечива, так как Г непротиворечиво. [49]
Мы видим, что существование многих существенно различных моделей для формализованной арифметики имеет по меньшей мере две причины; немаксимальность и общие теоремы о существовании моделей произвольно больших мощностей. Формализованная арифметика не является полным описанием множества всех положительных целых чисел. Эта неполнота вовсе не является специфическим свойством формализованной арифметики. Это общее явление в метаматематике формализованных теорий первого порядка, и причины его таковы же, как и в случае формализованной арифметики. Из цели формализации следует, что теории первого вида должны иметь много существенно различных моделей. Но в случае формализованных теорий второго вида можно было ожидать, что они будут иметь только одну ординарную семантическую модель ( с точностью до изоморфизма), а именно модель, являвшуюся отправным пунктом рассматриваемой формализованной теории. Мы видели, что, вообще говоря, это не имеет места. [50]
Мы видим, что существование многих существенно различных моделей для формализованной арифметики имеет по меньшей мере две причины: немаксималыюсть и общие теоремы о существовании моделей произвольно больших мощностей. Формализованная арифметика не является полным описанием множества всех положительных целых чисел. Эта неполнота вовсе не является специфическим свойством формализованной арифметики. Это общее явление в метаматематике формализованных теорий первого порядка, и причины его таковы же, как и в случае формализованной арифметики. Из цели формализации следует, что теории первого вида должны иметь много существенно различных моделей. Но в случае формализованных теорий второго вида можно было ожидать, что они будут иметь только одну ординарную семантическую модель ( с точностью до изоморфизма), а именно модель, являвшуюся отправным пунктом рассматриваемой формализованной теории. Мы видели, что, вообще говоря, это не имеет места. [51]
Эпитет элементарная означает, что положенной в основу теории логикой является исчисление предикатов первого порядка. Не вся теория групп - в принятом математиками понимании этой дисциплины-формализуется элементарной теорией групп. Дело в том, что в теории первого порядка кванторы навешиваются лишь по предметным переменным, а этого оказывается недостаточным для формализации некоторых теорем. [52]
Рассмотрим область пространства, в которой ток, имеющий постоянную плотность, протекает вдоль оси Ог. Такой ток вызывает появление цилиндрически симметричного магнитного поля, напряженность которого зависит от расстояния до оси г. Сила Лоренца, действующая на частицу, направлена перпендикулярно к оси или от нее и пропорциональна расстоянию до оси. Так как мы рассматриваем здесь только теорию первого порядка, то предположим, что составляющая скорости в осевом направлении велика по сравнению с поперечными составляющими и остается постоянной. [53]
Эта теория известна как приближение первого порядка. Отступление действительного изображения от этой теории называется аберрацией. В 1855 г. теория первого порядка была расширена включением условий третьего порядка. Теория третьего порядка содержит пять условий, которые следует применять для теории первого порядка. Когда нет никаких аберраций и монохроматический свет проходит через оптическую систему, сумма этих пяти условий равна нулю. Таким образом, указанная сумма обеспечивает логическую классификацию для пяти монохроматических аберраций. Кроме того, два вида хроматических аберраций могут произойти из-за различий между индексом и длиной волны. Пятью монохроматическими аберрациями являются: сферическая абберация, несимметричная аберрация, астигматизм, кривизна поля и дисторсия. [54]