Cтраница 3
В дальнейшем будут использоваться следующие принятые в теории приближений обозначения. [31]
Полиномы Фабера [88, 111] играют важную роль в теории приближения функций комплексного переменного. Ряды по полиномам Фабера служат для представления аналитических функций в односвязных областях. Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора с круга на односвязную область. [32]
Естественно, что при этих обстоятельствах в теории приближения функций возникли новые постановки задач и, в частности, в нее быстро проникли идеи функционального анализа. Одна такая постановка, относящаяся к вопросу о наилучших линейных методах приближения для Данного класса функций, впервые высказанная и получившая в одном важном случае решение в работе А. Н. Колмогорова ( 1936 г.), будет в дальнейшем подробно освещена. [33]
Для тех, кто занимается вычислительной математикой, теория приближения функций интересна по меньшей мере в двух отношениях. Наиболее распространенный прием построения стандартной программы вычисления значений некоторой функции состоит в том, что сначала строят полином, приближающий эту функцию с требуемой точностью, и стандартная программа вычисляет в действительности не значения функции, а значения этого полинома. Во-вторых, целый ряд приближенных методов решения функциональных ( дифференциальных, интегральных) уравнений состоит в том, что приближенное решение ищется в априори заданной форме - в виде линейной комбинации координатных функций. Таковы, например, методы Ритца, Галеркина, метод моментов. При этом, естественно, возникает вопрос, может ли решение принципиально быть достаточао хорошо приближено функциями такого вида. Знание ответа часто позволяет делать достаточно глубокие выводы об эффективности метода. Поэтому результаты теории приближения функций широко используются в теории приближенных методов решения функциональных уравнений. Заметим еще, что идеи интерполяции глубоко пронизывают всю вычислительную математику. [34]
Это доказательство будет основано на некоторых результатах из теории приближений функций полиномами. К изложению этих результатов, которые являются важными и сами по себе, мы сейчас и переходим. [35]
В этой главе изложены классические первоначальные результаты по теории приближения функции. Все эти результаты обобщены, усилены и развиты в различных направлениях. [36]
В настоящей главе излагаются вычислительные аспекты некоторых задач теории приближения функций. Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f ( x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках этого отрезка. Разумеется, такая задача допускает сколь угодно много решений. Интерполирование используется также при сгущении таблиц, когда вычисление значений 1 ( х) трудоемко. Иногда возникает необходимость приближенной замены или аппроксимации данной функции другими функциями, которые легче вычислить. В частности, рассматривается задача о наилучшем приближении в нормированном пространстве Я, когда заданную функцию f H требуется заменить линейной комбинацией ср заданных элементов из Н так, чтобы отклонение / - ф было минимальным. [37]
Его исследования, получившие мировое признание, относятся к теории приближения функций многочленами ( многочлены Чебышева наилучшего приближения), интегральному исчислению, теории вероятностей, теории механизмов. [38]
Более подробно свойства ортогональных многочленов рассматриваются в монографиях по теории приближения функций. Так, например, в книге И.П. Натансона Конструктивная теория функций ( Москва, Гостехиздат, 1949 г.) ортогональным многочленам посвящена примерно третья часть всего объема, но, к сожалению, эта книга давно стала библиографической редкостью и, кроме того, изложение в ней, как и во всех монографиях по теории приближений, рассчитано на математиков и не содержит тех вопросов, которые важны для приложений в технических науках. [39]
Много новых работ посвящено приложениям выпуклого анализа к задачам теории приближений. В работе Левина основной упор делается на теорему Хелли о пересечениях выпуклых множеств, но в ней обсуждаются и другие вопросы. [40]
Для получения упрощенных математических моделей элементов используют методы линеаризации, теории приближений функций, методы планирования эксперимента на сложной математической модели элемента, созданной на основе блочного принципа математического моделирования процессов химической технологии, а также методы аппроксимации непрерывных элементов с распределенными параметрами дискретными элементами с сосредоточенными параметрами. [41]
Для получения упрощенных математических моделей элементов используют методы линеаризации, теории приближений функций, методы планирования эксперимента на сложной математической модели элемента, созданной на основе моделей типовых процессов химической технологии, а также методы аппроксимации непрерывных элементов с распределенными параметрами дискретными элементами с сосредоточенными параметрами. [42]
Начиная с 30 - х гг. исследования в СССР по теории приближения функций действительного переменного приобретают особенно большой размах. Наряду с исследованиями С. Н. Бернштейна здесь в первую очередь следует отметить крупные достижения А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского, а также их учеников. [43]
В прошлом веке трудами П.Л. Чебышева зародилась родственная приближенным методам наука - теория приближений функций. Советская математика занимает в ней ведущее место. [44]
В этой книге излагается новая концепция численного анализа, основанная на теории приближения функций. При этом первый параграф первой главы называется Ортогональные многочлены. В этом параграфе кратко излагаются свойства ортогональных многочленов. А далее в тексте книги ортогональные многочлены часто применяются в доказательствах многих результатов вычислительного характера и даже в формулировках некоторых теорем. [45]