Cтраница 3
Дифференцируемой функцией и обращается в нуль при х - О и л: /, то коэффициенты Ck определяются по формулам Фурье; они ограничены; ряд ( 6 39) с такими коэффициентами равномерно и абсолютно сходится к ср ( х), как известно из теории тригонометрических рядов. [31]
Это определение интеграла дробного порядка принадлежит Риману и Лиувиллю. В теории тригонометрических рядов оно не совсем удобно, так как вообще Fa ( х) не периодическая, даже если f периодическая. Более того, Fa ( x) при этом зависит от выбора а. По этим причинам мы рассмотрим другое определение, введенное Вейлем и более удобное для тригонометрических рядов. [32]
Если исследуемая функция f ( x) является периодической, то естественно приближать ее также периодическими функциями. Так как теория тригонометрических рядов Фурье достаточно широко излагается в курсах математического анализа, мы не будем ее излагать здесь. При некоторых ограничениях на f ( x) имеет место и равномерная сходимость, что позволяет строить достаточно точные равномерные приближения функций тригонометрическими многочленами. [33]
Впоследствии были установлены другие достаточные УСЛОВИЯ и исследованы функции, не удовлетворяющие УПОМЯНУТЫМ УСЛОВИЯМ. В разработку теории тригонометрических рядов и их практических приложений важный вклад внесли многие русские и советские ученые: Н. И. Лобачевский, А.Н. Крылсв ( 1863 - 1945), С. Н. Бернштейн ( род. [34]
Впоследствии были установлены другие достаточные УСЛОВИЯ и исследованы функции, не удовлетворяющие УПОМЯНУТЫМ УСЛОВИЯМ. В разработку теории тригонометрических рядов н их практических приложений важный вк. [35]
Множество точек, в которых выполнено условие (6.5) для случая р 1, содержит в себе все лебеговские точки. Мы знаем, что во многих теоремах из теории тригонометрических рядов доказательство того, что некоторое явление имеет место почти всюду, строится на том, что оно имеет место во всех точках Лебега. Однако, например, для / ( х) е La имеем почти всюду Sn ( х, /) о ( Vln n), но нельзя утверждать, что это соотношение справедливо во всех точках Лебега. В частности, для непрерывной функции оно не должно иметь места в каждой точке, хотя всякая точка непрерывности есть точка Лебега. [36]
Производные Римана и Валле-Пуссена и их применение к некоторым вопросам из теории тригонометрических рядов. [37]
Оставляя пока вопрос об общих тригонометрических рядах, к которому мы еще вернемся, когда будем говорить о методах суммирования расходящихся рядов, перейдем к достижениям советских математиков в области теории рядов Фурье - Лебега. L), так как эти функции играют важную роль не только в теории тригонометрических рядов, но и в общей теории ортогональных систем. [38]
Предназначена главным образом для аспирантов и научных работников, специализирующихся в различных областях теории функции действительного переменного. Она может быть использована для работы со студентами университетов в семинарах и для чтения спецкурсов по теории тригонометрических рядов. Первая глава доступна и для очень широкого круга читателей. [39]
L функция / ( х) интегрируема в смысле интеграла В и a ( f) a ( if), если в формулах Фурье понимать интегралы в этом смысле. Мы не даем здесь доказательства этой теоремы, так как интеграл В не нашел других применений в теории тригонометрических рядов. Вместо этого мы рассмотрим так называемый А-интеграл, который, как мы увидим дальше, оказался очень полезным, и мы докажем для него такую же теорему, как упомянутая теорема А. Н. Колмогорова для интеграла В. [40]
Их вычисление и выражение существенно связаны с понятием интеграла, так как обычно определяются они по условию, чтобы средняя ( так или иначе взвешенная) квадратичная погрешность была минимальна. Всем известно центральное место, которое занимает в анализе теория рядов ортогональных функций и, в частности, теория тригонометрических рядов, возникшая еще в XVIII столетии в связи с задачей о колебании струны. [41]
Из теоремы 2.11.1 следует, в частности, что, используя только полноту системы рп ( х), можно построить сходящийся почти всюду к нулю ряд, не все коэффициенты которого равны нулю. Эта теорема имеет большое значение для вопросов, относящихся к единственности ортогональных рядов, и, в частности, дает повод для обширных исследований в теории тригонометрических рядов. [42]
В этом втором издании вся редакция тома II подверглась более или менее глубоким изменениям; наиболее важным из них является введение кратных интегралов Lebesgue a. Сверх того, теория тригонометрических рядов, которая также обязана Lebesgue y своими наиболее важными успехами, была полностью переработана и доведена до уровня современных знаний. [43]
Лузин в своей замечательной диссертации разбил совершенно справедливо проблемы теории тригонометрических рядов на проблемы, относящиеся к общим тригонометрическим рядам и к рядам Фурье. Однако в то время Н. Н. Лузин должен был констатировать, что по поводу первого круга вопросов можно сказать очень, мало. Теперь дело в корне изменилось: именно в теории общих тригонометрических рядов советскими учеными достш нуты существенные результаты и ими перед мировой наукой поставлен ряд тонких проблем. Этим мы не хотим сказать, что теория рядов Фурье не находила отражений в работах наших ученых; напротив, и здесь ими получены значительные результаты. [44]
Понятие волнового фронта распределения было введено в работах А. Это понятие позволяет правильнее определить процесс распространения особенностей решений и упростить исследование их гладкости. Необходимо подчеркнуть также, что это понятие является весьма естественным и полезным для теории кратных тригонометрических рядов и многомерных интегралов Фурье. [45]