Теория - твистор
Cтраница 3
 |
Деформация комплексного многообразия Q. [31] |
Итак, в определенных ситуациях 1-функции можно рассматривать как отвечающие линеаризованным деформациям, имеющим, быть может, смысл приближения к точной теории, описывающей нелинейные деформации. В теории твисторов существует точка зрения, согласно которой взаимодействия следует трактовать в терминах деформаций, по отношению к которым 1-функ-ции свободных частиц играют роль линейного приближения. Поскольку взаимодействие вводится между отдельными частицами, а не системами частиц, можно предположить, что основную роль в такой теории должны играть 1-функции. [32]
На два последних вопроса Пенроуз дает положительный ответ. Его знаменитая теория твисторов - абстрактных геометрических объектов, действующих в многомерном комплексном пространстве, которое лежит в основе обычного пространства-времени - носит чересчур узкоспециализированный характер, чтобы быть включенной в эту книгу. [33]
Очень интересно обнаружить столь много подобных взаимосвязей между энергией-импульсом, моментом импульса, полевыми уравнениями Эйнштейна и теорией твисторов, хотя это и не дает полного удовлетворения. Истинная роль и значение теории твисторов в данном контексте пока что остаются проблематичными. Однако существенно спинорный характер подхода Виттена и операций, связанных с твисторами двумерной поверхности из § 9, убедительно свидетельствуют в пользу существования пока еще неясной, но глубокой связи между спинорными представлениями и понятиями энергии и импульса. В общей теории относительности такие трансляционные симметрии могут отсутствовать, и тут, по-видимому, нужны спиноры, чтобы выявить более глубокие свойства этих физических величин, имеющих фундаментально важное значение. [34]
Несколько слов о роли твисторов в этом томе. Возможны две точки зрения на теорию твисторов. С одной стороны, ее можно рассматривать просто как новый математический метод решения задач обычной физической теории. С другой стороны, в ней можно видеть альтернативную основу для построения всей физики, характеризующуюся тем, что понятию события ( точки пространства-времени) отводится не основная а лишь второстепенная роль. В данном томе твисторы рассматриваются преимущественно с первой точки зрения. Это не книга по твисторной физике как таковой, но он может служить весьма полным введением для тех, кто хотел бы вплотную познакомиться с некоторыми из ее более развитых сложных или спекулятивных идей. [35]
Обсуждается преобразование Радона - Пенроуза, лежащее в основе теории твисторов и открывающее новый подход к изучению уравнений классической и квантовой теории поля. [36]
На вопрос о том, что следует рассматривать в качестве теории твисторов в п измерениях, можно дать разный ответ. [37]
Пенроуза конца 60 - х - начала 70 - х гг. Согласно первоначальному замыслу автора, теория твисторов была призвана послужить основой такого математического аппарата, в котором комплексная структура квантовой теории поля непосредственно вытекала бы из комплексной структуры, ассоциируемой с самим пространством-временем. И хотя до сих пор нет единого мнения, следует ли относиться к теории твисторов как к более адекватной основе построения будущей полной квантовой теории фундаментальных взаимодействий или как к мощному математическому инструменту анализа обычных теорий, твисторные методы завоевали заслуженную популярность и признание в современной теоретической физике. С помощью твисторных методов были получены нетривиальные результаты в теории полей Янга - Миллса ( полное описание инстантонных решений, построение монополей); были развиты способы построения некоторых классов решений уравнений Эйнштейна; предложены новые пути решения проблемы энергии в общей теории относительности. В данной книге, однако, не затрагивается вся широкая тематика, связанная с применением твисторов; авторы ограничиваются теми ее аспектами, которые непосредственно связаны с более традиционными спинорными методами и проблематикой общей теории относительности. [38]
БСК играют важную роль в теории относительности. Они возникают в связи с решениями безмассовых полевых уравнений и особенно важны в теории твисторов. [39]
Пространство-время Минковского т - базисное пространство, на котором задаются объекты релятивистской теории поля - выступает в теории твисторов в довольно непривыдаом виде. Пространство СМ называется комплексифицированным компактифицированным пространством Минковского. Вложение пространства М ( с фиксированным началом отсчета) в JCM строится в два шага. [40]
Существует глубокая внутренняя связь между БСК в пространстве Минковского и однородными голоморфными функциями твисторов. Мы проиллюстрируем эту связь на ряде конкретных результатов, первый из которых был получен Керром до появления теории твисторов. Будут приведены как первоначальная формулировка теоремы Керра, так и ее твисторный вариант. Далее в оставшейся части параграфа мы покажем, как идеи твисторов могут быть использованы в искривленном пространстве-времени, и в заключение приведем формулировку теоремы Керра, справедливую ( по отношению к гиперповерхности) в общем случае произвольного пространства-времени. [41]
Прежде чем перейти к доказательству [ которое мы проводим, следуя Соммерсу [316], по аналогии с рассуждениями, идущими после равенства (7.3.22) ], рассмотрим некоторые леммы о свойствах БСК. Они оказываются важными в другом контексте и имеют отношение к задаче построения точных решений уравнений Эйнштейна, а также к теории твисторов. [42]
В § 3 было предложено определять твисторы на общем искривленном пространстве-времени М относительно некоторой гиперповерхности У. Это действительно можно сделать, и возникающий при этом формализм гиперповерхностных твисторов является в данный момент наилучшим известным нам путем обобщения теории твисторов на пространства-времена, которые не являются конформно полуплоскими. Он применим только тогда, когда Jt и У вещественно ана-литичны, но это условие аналитичности кажется нам непринципиальным; по-видимому, теорию можно модифицировать таким образом, чтобы избежать его. [43]
Два класса функций % ( Wa), определяющих БСК, представляют особый интерес. Во-первых, если функция % линейна по Wa, то на основании теоремы (7.4.14) мы получаем в общем случае конгруэнцию, которая уже встречалась в теории твисторов, а именно конгруэнцию Робинсона. [44]
Полный анализ следствий рассматриваемого формализма завел бы нас слишком далеко. Существует исчисление r - функций ( или элементов r - х групп когомологий) [116, 54], в котором определены операция сложения, операция умножения, а также понятие интеграла. Теория твисторов показывает, что такое исчисление должно иметь важное значение при исследовании природы квантовых частиц. [45]
Страницы: 1 2 3 4