Cтраница 2
В этой главе излагается теория линейных уравнений, сперва для нормальной системы и-го порядка, а затем для одного уравнения я-го порядка, причем почти все результаты, относящиеся к одному уравнению, выводятся из соответствующих результатов о нормальной системе. Третий параграф главы посвящен нормальным линейным однородным системам с периодическими коэффициентами. Главным результатом здесь является теорема Ляпунова о возможности линейным периодическим преобразованием переменных перевести нормальную систему с периодическими коэффициентами в нормальную систему с постоянными коэффициентами. В дальнейшем этот результат находит важное применение в теории устойчивости. Доказательство его очень просто, но опирается на сравнительно неэлементарную теорию функций от матриц. Эта теория, не являющаяся частью теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагается для удобства читателей в добавлении II. Таким образом, третий параграф этой главы ( § 19) является неэлементарным благодаря используемому в нем матричному исчислению. [16]
Напомним основные факты из теории линейных уравнений с периодическими коэффициентами, которые нам понадобятся в дальнейшем. [17]
Настоящая глава будет посвящена теории линейных уравнений, интегралы которых, как было показано в главе I, не имеют подвижных особых точек. Следовательно, аналитический характер интегралов линейных уравнений вполне определяется их поведением в области их неподвижных особых точек. [18]
Книга охватывает традиционные разделы теории линейных уравнений в частных производных в основном второго порядка. Отдельные главы посвящены элементам теории аналитических функций и теории линейных интегральных уравнений, поскольку в значительной мере на них основаны изложенные в книге методы исследования структурных и качественных свойств решений уравнений в частных производных и классических задач для этих уравнений. [19]
Недостатком этой теории является несовершенство теории линейных уравнений с условно-периодическими коэффициентами: в то время как для уравнений с периодическими коэффициентами постоянства линейной части можно было добиться подходящим периодическим линейным преобразованием координат, для уравнений с условно-периодическими коэффициентами предположение о независимости Л от ( р является существенным ограничением. [20]
Такие системы решаются общими приемами теории линейных уравнений, например, методом исключения переменных Гаусса, через определители Крамера или современными численными методами. [21]
Ранг матрицы является важнейшим понятием в теории линейных уравнений. Для определения ранга может быть эффективно использован метод Гаусса. Определим ранг матрицы, приведенной в табл. 13.10, используя компактную схему Гаусса. [22]
Эта теорема имеет принципиальное значение в теории линейных уравнений, так как из нее следует, что вся информация о решениях однородного уравнения содержится в произвольной системе линейно независимых ее решений. [23]
Условие равенства нулю такого определителя называется в теории линейных уравнений условием совместности, поэтому и в нашем случае его можно назвать условием совместности на характеристиках. [24]
В § 28 приводятся основные факты из теории линейных уравнений. Если т1, то имеется большое количество работ, посвященных линейным дискретным системам; укажем здесь на некоторые из них [95, 96, 215], в идейном плане наиболее близкие к вопросам, рассмотренным в этом параграфе. [25]
Дать ответ на все эти вопросы и должна теория линейных уравнений. [26]
В предлагаемом новом издании наряду с традиционными разделами теории линейных уравнений в частных производных, изложенными в первом издании, внимание уделено вопросам локальной разрешимости классических задач для некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных и построению точных решений в отдельных частных случаях нелинейных уравнений и систем. [27]
Приведем в эвристическом изложении основные понятия и результаты теории линейных уравнений смешанного типа, представляющие интерес с точки зрения задач трансзвуковой аэродинамики. [28]
Эта теорема, принадлежащая Линделефу, играет основную роль в теории линейных уравнений с частными производными. [29]
Полное разрешение приведенных выше вопросов могло бы существенно способствовать пониманию теории линейных уравнений и того, какое минимальное число начальных данных необходимо для выделения решения. [30]