Cтраница 2
В теории аналитических функций часто приходится иметь дело с различными видами кривых на плоскости. Поэтому мы обсудим понятие кривой несколько подробнее, чем это обычно делается в анализе. [16]
В теории аналитических функций изучаются далеко не все функции комплексного переменного, а только довольно узкий класс. Впрочем, в этот класс входят почти все функции, встречающиеся в анализе. Изучению простейших свойств функций этого класса - регулярных функций - посвящена эта глава. [17]
В теории аналитических функций такую точку называют двойной, так как через нее проходят две ветви кривой, вещественные или мнимые. Мы все зчесь рассматриваем исключительно с точки зрения вещественных переменных. [18]
В теории аналитических функций такую точку называют я-кратной, так как через нее проходят п ветвей, вещественных или мнимых. [19]
Обобщением теории аналитических функций является рассмотрение ветвей / 1 ( z), / 2 ( z), многозначной функции f ( z), которые определяются как однозначные непрерывные функции в области их определения. [20]
Изучение теории аналитических функций требует от изучающего хорошего владения всем курсом математического анализа, и хотелось бы предполагать у читателя все необходимые знания. К сожалению, в курсах анализа принято излагать все вопросы для действительных функций действительных переменных. Из-за этого становится необходимым привести хотя бы формулировки основных сведений о пределах, непрерывности, интегралах для комплекснозначных функций комплексной переменной. В главу включены также некоторые элементарные сведения о топологии. Чтение этой главы не обязательно для понимания, но в случаях неясностей к ней полезно обращаться за справками. [21]
Изучение теории аналитических функций требует от изучающего хорошего владения всем курсом математического анализа. Поэтому естественнее всего было бы считать, что все, необходимое для изложения теории, уже известно из анализа. К сожалению, в курсах анализа все вопросы излагаются лишь для действительных функций действительных переменных. Из-за этого, прежде чем излагать теорию аналитических функций, приходится привести хотя бы формулировки основных сведений о пределах, непрерывности, интеграле. Поскольку изложение доказательств небольшого количества теорем не заменит читателю всего курса анализа, а читатель, овладевший анализом, без труда докажет сформулированные теоремы сам, мы в большинстве случаев приводим лишь формулировки теорем. Исключение допускается лишь для сравнительно небольшого числа более специальных вопросов. [22]
Развивается также теория аналитических функций абстрактных со значениями в различных векторных пространствах. [23]
Далее методами теории аналитических функций находят поле давления в окрестности струи. Разработанная методика расчета предполагает постановку единичного эксперимента по пробою слоя для определения коэффициента, характеризующего интенсивность нарастания толщины струи в слое данных параметров. Таким образом, практическое использование разработанной теории сводится к проведению экспериментальных исследований в модельных условиях. [24]
Центральной теоремой теории аналитических функций - является следующее утверждение. [25]
Большинство задач теории аналитических функций сводится к исследованию поведения функций вблизи особых точек. В настоящей главе мы дадим классификацию и изложим основные методы исследования. По существу в этой главе излагается основной рабочий аппарат теории аналитических функций. [26]
Для нужд теории аналитических функций к рассмотренным выше собственным ( конечным) комплексным числам добавляют еще одно несобственное ( бесконечное) комплексное число, обозначаемое символом оо; оно называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. [27]
При этом теорию аналитических функций Эрмит излагает сначала по Коши, затем - по Вейерштрассу, сопровождая новейшими результатами, в частности теоремами Неймана о голоморфных функциях и Миттаг-Леффлера о разложении мероморфных функций. Миттаг-Леффлер дает общее аналитическое выражение однозначной функции с одной существенно особой точкой на бесконечности и с бесконечным числом полюсов определенной кратности на конечном расстоянии. Теоремы сопровождаются приложением их к различным частным случаям. [28]
Этот процесс в теории аналитических функций носит название аналитического продолжения. [29]
Приведем результаты из теории аналитических функций, которые будут необходимы в дальнейшем изложении. [30]