Cтраница 3
Как уже отмечалось, теория матричных представлений групп находит многочисленные применения и в самой абстрактной теории групп: она позволяет привлечь к исследованию групп вычислительную технику теории полей, а иногда даже и классический анализ. Важную роль при этом играет теория характеров. Мы не намерены здесь входить в детали классической теории представлений и характеров и выделим лишь некоторые важные для нас моменты. Значительное место в ней уделено целочисленным и модулярным представлениям. [31]
В этой значительной по объему главе будут описаны и проиллюстрированы основные методы и результаты, лежащие в основе локального теоретико-группового анализа. Не вдаваясь в систематическое обсуждение обычной и модулярной теории характеров, мы ограничимся в отдельных случаях комментариями по поводу тех методов, в которых имеется необходимость. [32]
Разумеется, мало надежды доказать, что G изоморфна некоторой из наших / Cg-групп, если не установлено даже такое внутреннее сходство группы G с одной из них. К сожалению, создается впечатление, что теория характеров не позволяет эффективно исследовать указанные вопросы. [33]
Именно на этом этапе всего доказательства может понадобиться теория характеров. [34]
Первые две из этих проблем являются основными в классической теории представлений. С третьей связаны, например, различные приложения теории характеров в абстрактной теории групп. [35]
Наше обсуждение подсказывает, что для успешного решения любой общей классификационной проблемы требуются методы, позволяющие доказывать сходство внутреннего строения изучаемой простой группы со строением некоторой известной простой группы. Лишь после того, как такое сходство установлено, теория характеров становится потенциально полезным инструментом для перехода от сходства к изоморфизму. Однако по мере продвижения классификации простых групп оказалось, что в большинстве ситуаций этот переход от сходства к изоморфизму достигается без привлечения теории характеров. [36]
Хотя теория характеров групп позже ( в 1905 г.) была весьма упрощена И. Шпейзера) изложена именно эта упрощенная теория Шура, но первоисточник теории характеров - работы Фробениуса - далеко не утратил своего значения. Теория Фробениуса гораздо глубже и ознакомление с нею весьма ценно для всех, кто интересуется теорией групп. Поэтому издание на русском языке классических работ Фробениуса является вполне своевременным. [37]
Понятно, что для получения окончательного вывода G G мы должны не только знать, что группа G существует, но должны также иметь возможность идентифицировать G среди всех конечных групп, исходя из данного множества внутренних условий, появившихся на предыдущем этапе доказательства. Таким образом, в конечном счете локальный анализ ( или локальный анализ плюс теория характеров) сводит классификационную проблему к вопросам относительно существования и единственности известных простых групп. [38]
После введения групповой операции N становится компактной связной абелевой группой. Если теперь допустить, что N еще и локально связно, то из теории характеров [14] следует, что множество N должно быть / г-мер-иым тором как пространство группы тора. [39]
Такая ситуация типична для начала решения общей классификационной проблемы. Нас интересуют дополнительные условия, при которых для определения строения группы G можно использовать теорию характеров. Оказалось, что существуют два специфических набора таких условий. [40]
Глава XII-XIII краткое, но достаточно строгое, изложение основных понятий теории представлений групп и теории характеров. [41]
Стандартное классическое доказательство ( см., например, [ 130, теорема 4.3.3 ]) использует теорию характеров, хотя, безусловно, и значительно короче. Соломон ( не опубликовано) дали унифицированное изложение рассуждения Голдшмидта - Мацуямы. [42]
Я довольно много читаю всякую математику, сначала Понтряги-на, потом van Катреп а, а сейчас von Neumann а, мемуар 1934 года о почти периодических функциях на группах. Но теорию характеров прочесть, т.е. включить в свой курс, во всяком случае, хочу, так как независимо от полноты и свободы в развитии всех уже чисто топологических теорий, сама теория характеров заслуживает, чтобы ее прочесть - все же, очень хороша. [43]
Сформулированная теорема является лишь одним из многих важных результатов, доказанных в работе Фейта о целочисленных представлениях групп. Сама работа представляет собой одну из наиболее глубоких статей, когда-либо написанных по теории представлений конечных групп. В ней переплетаются алгебраическая теория чисел, модулярная теория характеров и действия групп на целочисленных решетках. В условиях теоремы 3.49 он показывает, что для имеется ровно три возможности, каждая из которых отвечает специфической подрешетке решетки Лича. [44]
Ничто, вероятно, так ясно не указывает на значение и серьезность проблемы / Q-тестов, как отчетливое осознание главными современными защитниками теории / Q практически важных проблем, стоящих перед обществом. Поскольку уровень жизни большинства американских рабочих продолжает падать, поскольку международная политика Соединенных Штатов становится все более и более милитаристской - несмотря на сильные антивоенные настроения, вызванные реакцией народных масс на войну во Вьетнаме - возникла и с каждым годом растет тенденция делить эти оппозиционно настроенные силы в соответствии с теорией расизма. Одним из стержней расистской идеологии в США являются / Q-тесты и связанная с ними теория генетически определяемого характера различий в интеллектуальных способностях людей. Есть ли лучший довод в защиту дискриминации расовых меньшинств ( равно как и в пользу того, чтобы дети рабочих получали более низкое по сравнению с другими детьми образование), чем утверждение, что существуют научные средства измерения врожденных способностей, в особенности интеллектуальных, и что эти научные методы показывают неспособность большинства негров извлечь для себя выгоду, которую дает улучшение условий жизни. Тот же довод выдвигается в отношении рабочих, белых и негров, чей / Q, как правило, ниже, чем у представителей средних классов. [45]