Cтраница 2
Открытие неоднозначности разложения на простые сомножители в числовых кольцах представляется одним из интереснейших фактов, найденных в прошлом столетии, приведшим к созданию обширной теории алгебраических чисел. [16]
Как ни странно, но на русском языке отсутствуют книги, предназначенные для не очень искушенного читателя, желающего лишь познакомиться с главнейшими идеями теории алгебраических чисел. Заполнить в определенной мере этот пробел имеет целью предлагаемая небольшая книжка. [17]
Значение теоремы Ферма для математики в том, что при попытках ее доказательства были, как мы увидим, выкованы новые мощные средства, приведшие к созданию обширного отдела математики - так называемой теории алгебраических чисел. Тот факт, что до сих пор теорема Ферма не доказана, по-видимому, означает необходимость в еще более мощных и утонченных методах. Элементарное же доказательство теоремы Ферма ( или, более общо, доказательство, не вводящее новых идей и остающееся в рамках уже известных методов), хотя и закроет проблему, но большого значения для математики иметь заведомо не будет. [18]
Что такая общая теория полей возникла тогда, когда был накоплен, в более частных исследованиях, соответствующий конкретный материал, показывает сноска Штейница к процитированному месту: К этим общим исследованиям особым стимулом для меня была Теория алгебраических чисел Гензеля1), исходным в которой является поле р-адических чисел - поле, которое нельзя отнести ни к функциональным, н к числовым полям в обычном смысле этих терминов. Так новая алгебра ( абстрактная алгебра) естественно вырастала из теоретико-числовых и арифметических исследований, составлявших одно из главных направлении в математике XIX века и уходящих своими корнями в ту наивную проблему решения алгебраических уравнений, с многовековой историей которой читатель уже знаком. [19]
Вопросы об алгебраических кривых над полем алгебраических чисел k интересно сравнить с аналогичными вопросами для случая, когда k - поле алгебраических функций одной переменной, подобно тому, как мы уже делали в этом докладе в связи с другими вопросами теории алгебраических чисел. [20]
Если (1.4) верно при этом выборе Н и ф и s достаточно велико, например s 1 / 2, то легко найти все делители п и, в частности, решить, является ли п простым. Обсуждение этих тестов с точки зрения теории алгебраических чисел читатель может найти в [17]; здесь Н возникает как группа Галуа подходящего расширения поля рациональных чисел Q и ty есть символ Артина. [21]
Если (1.4) верно при этом выборе Н и ф и s достаточно велико, например s п1 / 2, то легко найти все делители п и, в частности, решить, является ли п простым. Обсуждение этих тестов с точки зрения теории алгебраических чисел читатель может найти в [17]; здесь Н возникает как группа Галуа подходящего расширения поля рациональных чисел Q и ty есть символ Артина. [22]
Теория алгебраических чисел лежит на границе алгебры и теории чисел: с одной стороны, она смикается с теорией Галуа; с другой же стороны, она представляет собой естественное обобщение элементарной теории чисел и пользуется некоторыми результатами и методами аналитической теории чисел. Поскольку большая часть полученных в СССР результатов по теории алгебраических чисел связана с теорией Галуа, я решил включить теорию алгебраических чисел в настоящую статью. [23]
Поля алгебраических чисел и содержащиеся в них кольца целых алгебраических чисел являются простейшими примерами и в то же время отправными пунктами для гораздо более общих теорий. Особенно большое значение эти связи имеют для самой теории алгебраических чисел, так как они помогают найти новые постановки вопросов, сопоставляя эту теорию с другими, которые ей во многом аналогичны, но в которых мы можем использовать аналитический аппарат или геометрическую интуицию. Это объясняет, почему дальше речь будет идти часто о вопросах, не относящихся, строго говоря, к теории алгебраических чисел. [24]
Такой подход естественно приводит к понятию дифференты, как в теории алгебраических чисел. [25]
Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали такие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кроне-кер, Куммер и Фробенттус. [26]
В § 13 их класс значительно расширяется, в § 17 изучается вопрос, в какой мере введенные ограничения необходимы. U - или УИ-множеством, очень труден и решается только с привлечением теории алгебраических чисел. [27]
Конечно, доказательство этого факта при помощи ранее известных методов не представило бы принципиальной трудности. Однако оно не было проведено ни в одном из существующих больших курсов теории алгебраических чисел. [28]
Книга предназначена школьникам старших классов ( в ее первых главах), студентам, учителям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте. [29]
В настоящее время развитие алгебры в СССР настолько продвинулось, что возникла необходимость распределить материал алгебры по двум отдельным статьям. Настоящая же статья содержит изложение результатов, относящихся к отделам алгебры, возникшим ранее: теории Галуа, теории алгебраических чисел, а также теории расположения корней уравнений на плоскости комплексной переменной. Два, последних из этих отделов, собственно говоря, относятся к алгебре лишь частично; теория алгебраических чисел, с одной стороны, тесно связана с теорией Галуа и потому может считаться отделом алгебры, с другой же стороны, она содержит обобщения законов элементарной теории чи -, сел иа иррациональные числа, в силу чего ее естественно относить к теории чисел. Точно так же теория расположения корней, сто лет тому назад составлявшая ядро алгебры, в настоящее время отходит к теории аналитических функций, поскольку и ее результаты, и методы мало-помалу распространяются на трансцендентные функции. Здесь сказывается, наряду с общим процессом перегруппировки математических наук, неизбежным при ее росте и изменениях в понимании ее задач, также особая роль, которую играет алгебра в ряду других дисциплин. Если мы проследим ход развития математики, то увидим, что алгебра была колыбелью новых идей и понятий, возникавших в математике. В дальнейшем эти идеи обобщались и проникали в другие дисциплины, и лицо алгебры менялось от эпохи к эпохе довольно быстро. Поэтому весьма трудно подыскать для алгебры удовлетворительное определение. [30]