Cтраница 3
Теория алгебраических чисел лежит на границе алгебры и теории чисел: с одной стороны, она смикается с теорией Галуа; с другой же стороны, она представляет собой естественное обобщение элементарной теории чисел и пользуется некоторыми результатами и методами аналитической теории чисел. Поскольку большая часть полученных в СССР результатов по теории алгебраических чисел связана с теорией Галуа, я решил включить теорию алгебраических чисел в настоящую статью. [31]
Мы дадим здесь более общую теорему, а в следующем разделе - еще более общую теорему, доказательство которой опирается на теорию алгебраических чисел и групповых характеров. [32]
Здесь рассмотрен только один круг идей в теории полей алгебраических чисел и собраны примыкающие к этим идеям результаты и проблемы в самой теории алгебраических чисел и в близких к ней областях. [33]
Лорана по степеням локальной уни-формизующей в этой точке. Но, как известно, в аналогии между алгебраическими функциями и алгебраическими числами аддитивным формулам в теории алгебраических функций соответствуют мультипликативные формулы в теории алгебраических чисел. [34]
Из всех достижений, полученных на этих путях, безусловно наиболее значительными являются результаты немецкого ученого Куммера, найденные им около середины прошлого столетия. Методы Куммера в особенности замечательны тем, что с помощью их удалось не только значительно продвинуть вперед разрешение загадки, оставленной нам гением Ферма, но и создать новую, стройную и цельную ветвь современной арифметики - теорию алгебраических чисел. [35]
В ряде частных случаев ( например, если все слои гипер-эллип-тические) можно показать, что этот вопрос имеет положительный ответ. Доказательство в общем случае должно быть, по-видимому, значительно труднее доказательства аналогичного факта для кривых над полями алгебраических чисел, аналогично тому, как конечность числа расширений с заданными точками ветвления поля алгебраических функций доказывается гораздо сложнее [18], 4eivi теорема Эрмита в теории алгебраических чисел. В связи с этим было бы интересно исследовать этот вопрос в случае ko - С, пользуясь топологическими методами. [36]
Как же дело обстоит с Вспомогательным утверждением, когда разложение на простые множители в кольце DI не однозначно. Идея, принадлежащая Куммеру, состоит, как уже говорилось, в том, чтобы восстановить в DI однозначность разложения на простые множители, добавив некоторые новые идеальные числа. Эта мысль Куммера преобразовала всю теорию алгебраических чисел и в руках Дедекинда, Кронекера и Золотарева привела к созданию совершенно новых концепций, оказавших глубокое влияние на все отделы современной математики. [37]
В настоящее время развитие алгебры в СССР настолько продвинулось, что возникла необходимость распределить материал алгебры по двум отдельным статьям. Настоящая же статья содержит изложение результатов, относящихся к отделам алгебры, возникшим ранее: теории Галуа, теории алгебраических чисел, а также теории расположения корней уравнений на плоскости комплексной переменной. Два, последних из этих отделов, собственно говоря, относятся к алгебре лишь частично; теория алгебраических чисел, с одной стороны, тесно связана с теорией Галуа и потому может считаться отделом алгебры, с другой же стороны, она содержит обобщения законов элементарной теории чи -, сел иа иррациональные числа, в силу чего ее естественно относить к теории чисел. Точно так же теория расположения корней, сто лет тому назад составлявшая ядро алгебры, в настоящее время отходит к теории аналитических функций, поскольку и ее результаты, и методы мало-помалу распространяются на трансцендентные функции. Здесь сказывается, наряду с общим процессом перегруппировки математических наук, неизбежным при ее росте и изменениях в понимании ее задач, также особая роль, которую играет алгебра в ряду других дисциплин. Если мы проследим ход развития математики, то увидим, что алгебра была колыбелью новых идей и понятий, возникавших в математике. В дальнейшем эти идеи обобщались и проникали в другие дисциплины, и лицо алгебры менялось от эпохи к эпохе довольно быстро. Поэтому весьма трудно подыскать для алгебры удовлетворительное определение. [38]
Николай Григорьевич Чеботарев ( 1894 - 1947) окончил в 1916 г. Киевский университет. Доказанная в этой работе теорема о плотности и примененный при ее доказательстве прием оказали существенное влияние на развитие теории алгебраических чисел в 20 - х годах. После не вполне успешных попыток найти удовлетворительные условия для научной работы в Одессе и Москве Н. Г. Чеботарев в 1928 г. окончательно переходит на работу в Казанский университет, где ему удается не только выполнить ряд блестящих работ, но и создать одну из главных советских алгебраических школ. [39]
Поля алгебраических чисел и содержащиеся в них кольца целых алгебраических чисел являются простейшими примерами и в то же время отправными пунктами для гораздо более общих теорий. Особенно большое значение эти связи имеют для самой теории алгебраических чисел, так как они помогают найти новые постановки вопросов, сопоставляя эту теорию с другими, которые ей во многом аналогичны, но в которых мы можем использовать аналитический аппарат или геометрическую интуицию. Это объясняет, почему дальше речь будет идти часто о вопросах, не относящихся, строго говоря, к теории алгебраических чисел. [40]
Ибо тогда, когда он строит функции в явном виде как алгебраические, он кладет в основу рассмотрения их коэффициентов континуум комплексных чисел, алгебраически не анализируемый и для алгебраиста в известном смысле необъяснимый. Теория алгебраических функций вместе с теорией алгебраических чисел опирается на общую аксиоматическую основу. [41]
Гипотетически можно предполагать, что неразрешимыми элементарными теориями обладают также поля рациональных функций от одной или нескольких независимых переменных, а также поля формальных степенных рядов, по меньшей мере над полями с неразрешимыми теориями. В настоящей работе доказывается вторая из этих гипотез при некотором дополнительном ограничении, наложенном на основное поле. Что касается первой гипотезы, то мы здесь показываем лишь, что неразрешимой теорией обладает поле рациональных функций от одной переменной с коэффициентами из действительно замкнутого поля. Робинсон доказаны с помощью довольно тонких теорем теории алгебраических чисел, выходящих за рамки обычных университетских курсов общей алгебры. [42]
Свое вступление в науку он описывает далее так: Во всей полноте невинности и невежества я записался на объявленный Гильбертом в тот семестр курс лекций о понятии числа и квадратуре круга. Большая часть курса оказалась недоступна моему разумению. Но двери нового мира распахнулись передо мной, и хотя я сидел у ног Гильберта не так уж долго, в моем юном сердце созрела решимость во что бы то ни стало прочитать и изучить все, написанное этим человеком. По окончании первого курса я отправился домой, держа под мышкой его Zahlbericht ( обзор, а по объему целая книга, Гильберта по теории алгебраических чисел), и за летние каникулы тщательно проштудировал эту работу, не будучи ранее знаком ни с элементарной теорией чисел, ни с теорией Галуа. [43]
Этому способствовал и приход Граве в Киев и тот тесный творческий и личный контакт, который поддерживали киевские математики с петербургскими. Однако Киевская школа, сложившаяся в конце первого десятилетия XX в. Многие молодые ученые, именно в Киеве, впервые начали серьезно заниматься исследованиями по новейшим вопросам алгебры - теории групп, теории алгебраических чисел, теории идеалов, рассматривать вопрос, об объединении высших областей теории чисел с алгеброй и теорией функций. Эти вопросы в большинстве своем не были свойственны традиционной тематике Петербургской школы. [44]
Теория алгебраических чисел является одним из красивейших созданий математики XIX зека, Основные ее идеи легли в основу современной общей алгебры и тем самым оказали стимулирующее влияние па развитие всей математики. В последнее время наблюдается и обратный процесс: конструкции и методы современной абстрактной математики интенсивно вторгаются в прежде запретную для них область теории чисел, быстро меняющей поэтому свое лицо. Это новейшее развитие теории вполне удовлетворительно отражено в литературе, в том числе и учебной: достаточно назвать две недавно переведенные у нас книги Вейля и Ленга. Однако книга Боревича и Шафаревича представляет собой обстоятельный ( можно сказать даже - энциклопедический) учебник, предназначенный, в первую очередь, для студентов и аспирантов, специализирующихся по теории алгебраических чисел. Поэтому эта книга для первоначального ознакомления с основными идеями и положениями теории малопригодна. К тому же она требует от читателя достаточно солидной математической подготовки. [45]