Cтраница 3
Множество К метрического пространства X называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Таким образом, здесь происходит перенесение в общие условия существа леммы Больцано - Вейерштрасса - одного из самых известных предложений теории действительных чисел. [31]
Пожалуй, можно представить себе, что теория вероятностей требует весьма немногого от технически формализованной математики. Если овладеть действиями с дробями, можно уже весьма далеко продвинуться в теории вероятностей; зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде; теория действительных чисел и анализ оказываются совершенно излишними, но, если позволить себе в этом отношении небольшую роскошь, можно весьма глубоко проникнуть в теорию вероятностей, глубже, чем когда-либо пытались в школе. [32]
В справочнике дается систематическое изложение теории действительных чисел. В школьном курсе сведения о действительных числах слишком разрозненны, чтобы можно было получить полное представление о структуре и принципах построения действительных чисел. В справочнике теория действительных чисел излагается с единой точки зрения, а именно множества целых, рациональных и действительных чисел последовательно вводятся как естественное расширение множества натуральных чисел. [33]
Больцано - Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. Больцано не доставало теории действительного числа; в его рукописях, опубликованных лишь в наше время, имеется незавершенный набросок такой теории. Нек-рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений, уже известные О. Коши в это время, были опубликованы позднее. [34]
Положение здесь даже проще, чем в теории действительных чисел, так как там для вновь вводимых объектов - иррациональных чисел - требуется еще определить все арифметические операции. [35]
Кантором ( 1845 - 1918) была построена теория действительного числа. [36]
Внешне борелевское рассуждение не содержит обращения к аксиоме выбора. Действительно, в этой книге он отказался от своих прежних доказательств теоремы о конечном покрытии, а принял [ 8, с. Однако, даже если допустить, что обращение в последнем к дедекиндовской теории действительных чисел не приводит к цермеловости ( мы так не считаем), все же в умозаключениях Бореля содержится один пункт, связанный с нею. [37]
Аксиоматическая теория, две любые модели которой изоморфны2, называется категоричной. Таким образом, категоричная теория имеет по существу единственную модель. Именно достижение такой ситуации преследуется при аксиоматизации некоторых интуитивных теорий, скажем, евклидовой геометрии или теории действительных чисел. [38]
Важность такого рода работы становится особо понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием ыатематич. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, к-рые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, к-рый как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к строгости доказательств. В применении к основам анализа ( теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников ( даже чисто практич. Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практич. [39]
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математич. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. [40]
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математической модели непрерывного движения. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в которой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. В нестандартном анализе решающую роль играет именно неархимедовское упорядоченное поле - нестандартная действительная прямая. [41]
Мне не известно утверждение, что без аксиомы выбора нельзя доказать существование множеств мощности континуума. Напротив, обычно считают, что такое доказательство возможно и, более того, что мощность множества чисел отрезка [ О, 1 ] есть множество мощности континуума. Но тогда из рассуждений Бореля следует доказуемость версии III6 аксиомы выбора, а значит, и теоремы о счетности счетной суммы счетных множеств. Невероятность этих результатов является лишним доводом в пользу высказанного в предшествующем разделе предположения о цер-меловости теории действительных чисел. [42]
Роапо) указали систему аксиом А. Wes-sel) и К. Ф. Гауссом ( К. К. Gauss), по существу является моделью для теории комплексных чисел в рамках теории действительных чисел. [43]
В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при других, так называемых конструктивных, методах построения теории действительных чисел ( когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования ( непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова. [44]
В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при других, так называемых конструктивных, методах построения теории действительных чисел ( когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования ( непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова. [45]