Cтраница 4
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются в современной математич. Как показывает подробный анализ, существенную роль в их преодолении играет выполнение в поле действительных чисел так наз. И все же ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глубока. Для исследования концепции физических бесконечно малых и бесконечно больших величин неоднократно предпринимались попытки построения теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержательной частью современной алгебры. В нестандартном анализе решающую роль играет именно неархимедовское упорядоченное поле - нестандартная действительная прямая. [46]
При формальном описании теории задается ее язык ( правила построения выражений разл. Доказательство есть последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по одному из правил вывода. А, либо А, либо отрицание А является теоремой. При построении формальных теорий вопрос о непротиворечивости является ключевым. Для установления непротиворечивости обычно используется метод интерпретаций. При семантической интерпретации строится модель теории: теоремы превращаются в истинные содержательные утверждения об объектах некоторого универсума. Если теория имеет модель, то она непротиворечива. Путем интерпретации доказательство непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к доказательству непротиворечивости теории действительных чисел, а доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского - к доказательству непротиворечивости евклидовой геометрии. [47]