Cтраница 1
Теория гомологии и когомологий как составная часть алгебраической топологии излагается во многих книгах, посвященных этому разделу математики. В настоящей книге эта теория вместе с ее традиционными применениями находит наиболее полное отражение, приобретая вполне завершенный вид. Много внимания уделяется различным вариантам гомологических и когомологических умножений и их роли в описании двойственности Пуанкаре - Лефшеца в топологических многообразиях. Книга существенно выделяется среди прочих не только полнотой изложения, но и рядом других особенностей. [1]
Теория гомологии изучает циклы комплексов; при этом подразумевается, что любые два цикла комплекса считаются эквивалентными, если их разность ( как разность двух цепей) является граничным циклом. В некоторых работах прилагаются значительные усилия для рассмотрения вырожденных циклов, построенных на симплексах с возможно совпадающими вершинами, но мы, однако, такие циклы можем игнорировать, заметив ( как показал это несколько лет тому назад А. Таккер), что все они являются граничными. [2]
Теория гомологии и когомологий неодносвязных комплексов представляет любопытные алгебраические особенности, которые в некоторых случаях приводят к важным последствиям. [3]
Традиционно теория гомологии играет фундаментальную роль в изложении начал топологии. Пуанкаре, создавшего основы топологии, теория гомологии рассматривается как первичная начальная основа методов алгебраической топологии. [4]
Известны теории гомологии и когомологий двух основных типов: сингулярная теория и теория Чеха - Александера - Спеньера. Хотя обе теории приводят к одинаковым результатам для топологических пространств с хорошим локальным строением, известно, что при рассмотрении более общих пространств теория когомологий типа Чеха - Александера - Спеньера имеет некоторые технические преимущества. Несмотря на эти преимущества, обычно считается, что с педагогической точки зрения для первоначального курса алгебраической топологии лучше использовать сингулярную теорию. Разумеется, это объясняется прежде всего тем фактом, что выявление и доказательство основных свойств в сингулярной теории гомологии не составляют большого труда. В противоположность этому описание теории гомологии, ассоциированной с когомологиями Чеха - Алексаи-дера - Спеньера, до сих пор считалось довольно сложным. Одной из главных отличительных особенностей настоящей книги является существенное упрощение процедуры построения теории гомологии1), упоминаемой иногда как теория гомологии Стинрода. При таких упрощениях эта теория уже может конкурировать с сингулярной и с педагогической точки зрения. [5]
Владение теорией гомологии предполагается. Результаты лекций С н 8, хотя и принадлежат и основном Дж. Уайтхеду, но в его книге доказываются иначе - с использованием i отологических методов. [6]
Алгебраический аспект теории гомологии не сложен. [7]
Умножения в экстраординарных теориях гомологии и когомологий, аналогичные умножениям в ординарных теориях, строятся с помощью спариваний спектров. [8]
Фундаментальную роль в теории гомологии играют два граничных оператора-нижний, классический, обозначаемый обычно символом Д, и сравнительно недавно введенный верхний граничный оператор. Оба эти оператора применяются к г, Г - цепям в С, нижний-лишь при гз 0, верхний-без всяких ограничений. [9]
По этому построению теория гомологии Н, д ] есть совокупность трех функций: 1) относительной г-мерной группы гомологии НГ ( Х, А) пары топологич. [10]
Другая существенная особенность теорий гомологии и когомологий, рассматриваемых в части I, состоит в том, что обе они в терминологии Стинрода и Эйленберга - теории одного пространства. Это означает, что нет необходимости в рассмотрении относительных гомологии и когомологий пар: группы гомологии и когомологий пары ( X, А) совпадают соответственно с группами гомологии и когомологий дополнения Х А. Во многих отношениях эти теории гомологии и когомологий одного пространства проще, чем обычные, в которых фигурируют относительные группы пар. Аналог свойства вырезания превращается в тавтологию и не нуждается в рассмотрении. Становится возможным интуитивное и прямое описание групп юмологий многообразий в старшей размерности без каких-либо предположений типа дифференцируемости, триангулируемости, компактности и даже паракомпактности. [11]
Основная идея построения теории гомологии такого типа принадлежит Стинроду и Эйленбергу2) 114, стр. Эти гомологии были использованы К. А. Ситниковым [48] ь 1954 г. для распространения классических теорем двойственности Александера на произвольные ( не обязательно замкнутые или открытые) подмножества евклидовых пространств. Обобщенную теорему двойственности Ситникова мы рассмотрим в гл. [12]
К р обозначает теорию гомологии ( с локально замкнутыми носителями) топологической Г - теории. [13]
Следует подчеркнуть, что теории гомологии и когомологий, развиваемые в части II, уже не являются теориями одного пространства. Для получения точной последовательности пары необходимо рассматривать относительные группы. Однако на категории компактных пространств рассматриваемые в части I и части II теории совпадают. [14]
Иная картина наблюдается в теории гомологии локально компактных пространств ( и в этом - одно из проявлений двойственности Пуанкаре - Леф-шоца, см. добавление к гл. Цепи с носителями в Ф в всегда определяют гомологии ff ( В) подмножества Я с X, а гомологии пары Нр ( X, В) определяются факторкомплексом комплекса цепей с носителями в Ф по подкомплексу цепей с носителями в Ф а. В случае когда множество В замкнуто, группы Яр ( X, В) изоморфны гомологиям открытого множества А - X В с носителями в Ф П А. Гомологии ЯР, рассмотренные в первой части, совпадают в Н при условии, что Ф - семейство всех замкнутых множеств. При Ф о группы Я ивоморфны гомологиям, рассматриваемым в гл. Естественность такого подхода стала ясна после работ [16 ], [30 ] и подтверждается кои струкциями, содержащимися в гл. [15]