Cтраница 2
Как мы видели в § 17, теория булевых алгебр совпадает ( если рассматриваются конечные объединения и пересечения) с частью теории алгебраических колец. Термин идеал заимствован из этой теории. Действительно, легко проверить, что множество А элементов булевой алгебры Щ является идеалом в смысле § 3 тогда и только тогда, когда оно является идеалом булева кольца 31 в смысле общей теории алгебраических колец. Описанное в § 10 построение факторалгебр является частным случаем построения алгебраических факторколец. Это построение является также частным случаем построения факторалгебр по отношению конгруэнтности в общей теории абстрактных алгебр. [16]
Она может служить пособием при первоначальном изучении теории булевых алгебр; для ее понимания достаточно знакомства с элементами алгебры, теории меры и общей топологии. [17]
Основное содержание последующих глав составляют те разделы теории булевых алгебр, которые связаны с этими применениями; их систематическое изложение составляет вторую цель книги. Основу для этого изложения содержат главы III - VI, в которых сосредоточен главный аппарат. Здесь рассматриваются полные и а-пояные алгебры, изучаются различные топологии и непрерывные отображения. Устанавливается, в частности, единственность топологии, в некотором смысле разумно согласованной с имеющимся в данной алгебре порядком. Особое положение занимает § 3 третьей главы. Содержащиеся в нем утверждения ( принцип исчерпывания, теорема о нормальных ядрах) широко используются впоследствии. В этих же главах читатель может найти доказательства основных предложений теории меры таких, как теорема о продолжении меры и теорема Радона - - Никодима. [18]
В качестве введения в систематическое развитие теорем теории булевых алгебр мы рассмотрим, исходя из данной выше формулировки, принцип двойственности. Определим как двойственное к высказыванию, сформулированному в булевой алгебре, то высказывание, которое получится при сплошной замене и на П и П на и 1 на 0 и 0 на 1; мы видим тогда, что каждая из аксиом представляет собой двойственную пару предположений. Принцип двойственности для булевых алгебр дает дополнительную теорему на каждую доказанную, если только теорема не окажется двойственной самой себе. [19]
Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр; здесь приводятся основные факты этой теории, дается обзор ее важнейших приложений. Последующие главы в основном посвящены полным булевым алгебрам, в первую очередь алгебрам с мерой, особенно важным для теории вероятностей и функционального анализа. Многие приводимые в книге результаты в монографическом изложении публикуются впервые. [20]
Теорема 8.2 также демонстрирует значение понятия компактного вполне несвязного пространства для теории булевых алгебр. [21]
Используя понятие алгебры Линденбаума - Тарского, эту теорему легко перефразировать на языке теории булевых алгебр. Ее эквивалентная булева формулировка заключается в том, что каждый ненулевой элемент алгебры Линденбаума - Тарского 91 принадлежит некоторому максимальному фильтру. Роль системы аксиом исчисления высказываний сводится к тому, чтобы показать, что алгебра Линденбаума - Тарского является булевой алгеброй. [22]
Как читатель уже заметил, основная теорема 8.2 о представлении является основной теоремой для всей теории булевых алгебр. Эта теорема получена как следствие теоремы 6.1 о существовании максимальных идеалов и фильтров. [23]
Например, мы видим, что теория плотного линейного порядка без концевых элементов нестабильна, теория безатомных булевых алгебр тоже нестабильна. [24]
Офу ( Vz) ( Zj / - 2ss0vZs у)), то мы получим теорию безатомных булевых алгебр. [25]
О и булевой алгебре Д, в которых такая реализация может быть определена, легко устанавливается с помощью соответствующих законов теории булевых алгебр. [26]
О и булевой алгебре А, в которых такая реализация может быть определена, легко устанавливается с помощью соответствующих законов теории булевых алгебр. [27]
В этой главе прежде всего дается естественная формулировка теории, Затем приводится формулировка, которую обычно считают более изящной Эта вторая формулировка используется для развития следующей темы - представления теории булевых алгебр в терминах алгебр множеств. Затем в качестве другого типа модели теории излагается исчисление высказываний и в заключение дается понятие о свободной булевой алгебре. [28]
В книге дается элементарное изложение важнейших понятий, идей, методов и результатов теории множеств ( включая алгебру операций надмножествами), математической логики ( элементы логики высказываний и логики предикатов), оснований математики ( аксиоматический метод) и теории булевых алгебр. Имеется большое число упражнений учебного характера. [29]
Кроме связи с теорией множеств, она имеет мало отношения к основному руслу математики. Тем не менее существует глубокая теория булевых алгебр. [30]