Cтраница 4
В этой книге развивается взгляд, согласно которому именно абстрактная булева алгебра с вероятностной мерой образуют адекватную математическую модель того, что называется системой событий. Многочисленные теоремы о представлении позволяют в случае надобности переходить на языки конкретных реализаций, используя факты, накопленные в других разделах математики. Мы избегаем при этом привилегированных реализаций и стремимся вести все изложение на чисто алгебраическом языке. Теория булевых алгебр в настоящее время достаточно развита для этого. [46]
Теория булевых алгебр важна и с исторической, и с современной практической точки зрения. Изложение этой теории может послужить для начинающего удобным средством для усвоения ряда понятий, рассмотренных в общем виде в главе III. Кроме того, эта теория представляет собой пример того имеющего важное значение типа аксиоматической теории, который носит название алгебраической теории. Теория булевых алгебр, с одной стороны, сравнительно проста, с другой-чрезвычайно богата по структуре. Так, ее подробное изучение в некоторых отношениях служит превосходным введением в технику, которую можно использовать в разработке какой-либо аксиоматической теории. Единственный возможный ее недостаток заключается в том, что легкость, с какой ей можно придать сравнительно законченную форму, несколько обманчива, поскольку речь идет об аксиоматических теориях вообще. [47]
С другой стороны, мы проверяем ( доказываем. Таким образом, рассматриваются исключительно внутренние вопросы теории. Вопрос же о справедливости аксиом для единственного интересующего нас объекта - идеализированной модели нашего реального пространства - является внешним для теории и решается исходя из наших интуитивных представлений. В случае же, например, теории булевых алгебр эти внешние вопросы возникают для различных конкретных объектов, причем проверка аксиом каждый раз осуществляется строгими математическими средствами, хотя и лежит за пределами теории. Другими словами, понятие системы аксиом приобретает новый оттенок. Это уже не набор истин, которые мы по каким-то соображениям принимаем без доказательства, а набор тестов, выполнимость которых для какого-нибудь объекта автоматически влечет справедливость целого набора теорем, составляющих данную аксиоматическую теорию. Эта эволюция взгляда на аксиомы лежит в основе широкого применения аксиоматического метода в современной математике. [48]
Определение теории дано Тарским. Книга Сикорского [1964] является хорошим пособием по теории булевых алгебр. [49]
При всей простоте своей аксиоматики теория булевых алгебр весьма содержательна. Мы находим в ней немало трудных и глубоких проблем, многие из которых еще не решены. Эти проблемы весьма разнообразны, они соприкасаются с логикой и теорией множеств, с теорией вероятностей и анализом. Такое обилие точек соприкосновения со смежными математическими дисциплинами роднит теорию булевых алгебр с функциональным анализом, к которому она близка и по своему общему математическому стилю. [50]