Cтраница 3
Трудно точно сказать, кто первым начал использовать нефинитные методы в метаматематике. Тесная связь классической логики и теории булевых алгебр известна уже довольно давно. [31]
Трудно точно сказать, кто первым начал использовать нефи-нитные методы в метаматематике. Тесная связь классической логики и теории булевых алгебр известна уже довольно давно. [32]
Указанные работы касаются также других проблем в теории булевых алгебр. [33]
Типовая струкгура базы данных для класса задач должна быть представлена в виде сехк взаимосвязанных файлов. К ним относится применение аппарата марковских цепей, теории булевой алгебры задач целочисленного линейного программирования с булевыми деремев-ныш, теории дересекагжиахся множеств, методов таксономии. [34]
Логические исследования самого Буля привели к понятию, которое мы теперь называем булевой алгеброй. Фундаментальная теорема Стоуна о представлениях булевых алгебр дает возможность широких приложений теории булевых алгебр к метаматематике. Метод рассмотрения множества формул или множества классов эквивалентности формул как универсальных алгебр, предложенный Липденбаумом и Тарским, оказался важным орудием исследований. Он устанавливает связь между метаматематикой теорий, основанных на классической логике, и теорией булевых алгебр. [35]
Логические исследования самого Буля привели к понятию, которое мы теперь называем булевой алгеброй. Фундаментальная теорема Стоуна о представлениях булевых алгебр дает возможность широких приложений теории булевых алгебр к метаматематике. Метод рассмотрения множества формул или множества классов эквивалентности формул как универсальных алгебр, предложенный Липденбаумом и Тарским, оказался важным орудием исследований. Он устанавливает связь между метаматематикой теорий, основанных на классической логике, и теорией булевых алгебр. Работы Стоуна и Тарского о взаимоотношении между интуиционистской логикой и импликативньши решетками, а также дальнейшие работы Мак-Кинси и Тарского о методах теории решеток в интуиционистском и модальном пропозициональных исчислениях установили аналогичную связь для метаматематики соответствующих неклассических теорий. Большое значение имеет здесь также и другой подход к исследованиям: интерпретация формул пропозициональных исчислений как отображений в некоторых решетках. Эта интерпретация является обобщением давно уже используемого в логике метода истинностных таблиц. Распространение этого метода на интуиционистское предикатное исчисление впервые было предложено Мостовским в связи с проблемами невыводимости формул. [36]
Пространства MQ и 1Р представляют собой примеры нормальных подпространств ( см. стр. Пространства FQ и их нормальные подпространства удобны в качестве моделей при первоначальном знакомстве с векторными структурами, точно так же, как дискретные алгебры 2Q хорошо иллюстрируют простейшие факты теории булевых алгебр. Мы рассмотрим подобные пространства ниже. [37]
Теория векторных структур ( линейных полуупорядоченных пространств) тесно связана с предметом настоящей книги. Многие факты, относящиеся к булевым алгебрам, становятся яснее, будучи рассмотрены с векторной точки зрения. Не будет большим преувеличением сказать, что теория булевых алгебр и теория линейных полуупорядоченных пространств сливаются в одну большую главу функционального анализа. [38]
Все наши приложения из разд. В некоторых случаях метод насыщенных моделей может быть также применен к неполным теориям для того, чтобы получить полезное описание всех полных расширений данной теории. В качестве иллюстрации мы рассмотрим классификацию полных расширений теории булевых алгебр. Аксиомы этой теории приведены в примере 1.4.3, некоторые простые определения и результаты содержатся в примере 1.4.3 и в упражнениях из разд. Кроме этого мы будем предполагать, что у читателя уже есть некоторый, хотя не обязательно обширный, опыт работы с булевыми алгебрами. Приведенная здесь классификация будет использована в разд. [39]
Эта книга преследует двоякую цель. Прежде всего, она может служить для первоначального знакомства с булевыми алгебрами. Первые две главы книги образуют элементарное введение в теорию булевых алгебр. Здесь содержится довольно много примеров, которые позволяют читателю увидеть возможности применения теории булевых алгебр к теории меры, теории вероятностей, функциональному анализу. [40]
Система аксиом ( 1 [) - ( 1е) не является самой короткой. Эти аксиомы даже не являются независимыми. Известны более экономные системы аксиом, но вопросы аксиоматизации теории булевых алгебр нас не интересуют. [41]
Система аксиом ( 1 [) - ( 16) не является самой короткой. Эти аксиомы даже не являются независимыми. Известны более экономные системы аксиом, но вопросы аксиоматизации теории булевых алгебр нас не интересуют. [42]
Предлагаемая вниманию читателя книга Р. Р. Столла может быть рекомендована в качестве первоначального пособия - помимо тех категорий читателей, которые указывает в своем предисловии автор - каждому, кто хочет ознакомиться с основными понятиями, идеями, методами и результатами математической логики и теории множеств; элементарному изложению этих вопросов посвящены первые две главы книги. Несколько более трудна ( по степени абстракции и сложности излагаемых в ней концепций) третья глава, в которой разъясняются важнейшие установки аксиоматического метода, затрагиваются проблематика оснований математики и взаимоотношения между формализованными логико-математическими теориями, их метатеориями и интерпретациями; изложение этих вопросов носит более эскизный характер, нежели в первых двух главах. Заключительная, четвертая глава иллюстрирует содержание предыдущих глав на богатом и разнообразном материале теории булевых алгебр; некоторые из аксиоматических рассмотрений этой главы, быть может, окажутся небезынтересными и для математиков. [43]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 9 совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств, Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [44]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 3 % совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств. Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [45]