Cтраница 3
Вследствие принятых допущений кинематического и статического характера классическая теория оболочек утратила свойство гиперболичности трехмерных уравнений движения упругой среды и оказывается неприемлемой для описания бегущих нзгибных волн. Поэтому к обычно рассматриваемым п классической теории оболочек деформациям и силам инерции рассматривают деформации, связанные с поперечными силами, и инерцию вращения. Такая схема динамического поведения оболочки обычно трактуется как модель второго приближения. [31]
Через Лгу Р ( г) а р & р а обозначим аналогичные величины, найденные без учета поперечных сдвиговых деформаций. Следует отметить, что в рамках классической теории оболочек поперечные сдвиговые напряжения, фигурирующие в квадратичной форме Мизеса (2.2.3), строго говоря, неопределены. [32]
К таким факторам, в значительной степени определяющим несущую способность композитных оболочек, следует отнести резко выраженную анизотропию деформативных свойств армированного материала и его низкое сопротивление трансверсальным деформациям. Классическая теория оболочек пренебрегает такими деформациями, что потребовало отказа от традиционных расчетных схем и разработки уточненных математических моделей деформирования тонкостенных слоистых систем. Поэтому создание новых и развитие существующих уточненных методов расчета слоистых анизотропных пластин и оболочек, их апробация и определение границ применимости является важной и актуальной задачей. [33]
Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с основными размерами тела. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа - Лява, состоящие в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины; нормальные напряжения ст33 пренебрежимо малы. Энергетическая погрешность гипотез Кирхгофа - Лява в случае оболочек равна г) 2 max Л2Д2, h / R, где R - минимальный радиус кривизны оболочки. [34]
Применение методов асимптотического интегрирования для решения проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития. Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа полной сферы ( всюду положительной кривизны. Такую задачу считают наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек. Результаты анализа решения этой задачи весьма интригующие; Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях можно увеличить точность уравнений классической теории оболочек. Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирхгофа - Лява; поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда возможно или целесообразно. [35]
Дальнейшие упрощения геометрических соотношений связаны с различными предположениями относительно геометрии и характера деформирования оболочки. Однако, прежде чем перейти к их изложению, необходимо сделать следующее замечание. Понятия пологая оболочка, тонкостенная оболочка сложились в классической теории оболочек, рассматривающей однородные изотропные конструкции, и были автоматически перенесены на оболочки из конструктивно неоднородных и анизотропных ( композиционных) материалов. Вопрос корректности переноса областей применимости различных приближений, установленных в классической теории, в теорию неклассических оболочек в теоретическом отношении исследован явно недостаточно и по сути остается на сегодняшний день вопросом инженерной практики. [36]
При проектировании ответственных конструкций широко используются тонкостенные оболочки и пластинки, обладающие легкостью и достаточной прочностью. Основы этой теории изложены в известных монографиях советских ученых В. В связи с этим особенно актуальной является проблема обобщения и уточнения классической теории оболочек с привлечением новых механических и кинематических моделей состояния, в достаточной степени отражающих особенности механического поведения новых материалов, связанных с их низкой сдвиговой жесткостью. [37]
Метод расчета оболочек, основанный на непосредственном интегрировании уравнений теории упругости, связан с большими математическими трудностями. Поэтому введение упрощений в разрешающие уравнения позволяет решить ряд практически важных прикладных задач при исследовании гладких тепловых и силовых полей в тонкостенных конструкциях. Однако использование упрощающих гипотез приводит к ограничению рассматриваемых объектов системами, для которых справедливы соотношения классической теории оболочек. [38]
В конкретно сформулированной трехмерной краевой задаче теории упругости, моделирующей рассматриваемую задачу теории оболочек, внутреннее напряженное состояние должно определенным образом взаимодействовать с погранслоями. Показано, что в рамках определенной асимптотической точности полный расчет оболочки ( включающий обследование краевых упругих явлений) можно разбить на самостоятельные этапы, первый из которых состоит из обычного расчета оболочки по классической двумерной теории. На последнем этапе при этом могут быть найдены и краевые напряженно-деформированные состояния, вопрос о которых в классической теории оболочек вообще не может ставиться. Попутно выясняется, что эти краевые напряженно-деформированные состояния по своей интенсивности асимптотически эквивалентны получающимся по классической теории. [39]
Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм - цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной ( см. [283 ]) классификации делятся на три основные группы ( методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С. К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. [40]
Для его построения приходится принять некоторые предположения об асимптотических свойствах искомого напряженно-деформированного состояния и, в частности, ввести понятие о нормальной асимптотике. Полученные результаты используются в главе 27, где даются оценки погрешностей различных вариантов двумерных теорий оболочек и показывается, что вариант, построенный в части I, в известном смысле является наилучшим. Показано также, что в тех случаях, когда искомое напряженно-деформированное состояние имеет особую ( не являющуюся нормальной) асимптотику, погрешности классической теории оболочек повышаются. [41]
Один из основных подходов к расчету оболочки состоит в разрезании ее на отдельные панели и ребра. При этом решается граничная задача для каждой па - нели, после чего производится склейка решений с учетом дифференциальных уравнений для ребер. Получаются связанные между собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Число систем равно числу ребер N, порядок каждой системы для классической теории оболочек восьмой. Так как связанность осуществляется через правые части уравнений равновесия ребра, являющиеся, вообще говоря, реакциями со стороны панелей, то уравнения всегда могут быть проинтегрированы для каждого ребра самостоятельно. В этом случае задача сво-дится к решению 8N функциональных уравнений или алгебраических уравнений; если, например, решение удается разложить в направлении ребра по системе ортогональных функций. Для замкнутой оболочки с меридиональными ребрами система распадается на независимые системы по 8 уравнений при наличии усло вий периодичности по каждому ребру, а при наличии периодичности по отдель - ным группам из я ребер ( Njn - целое) на независимые группы по п связанных систем. [42]
Применение методов асимптотического интегрирования для решения проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития. Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа полной сферы ( всюду положительной кривизны. Такую задачу считают наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек. Результаты анализа решения этой задачи весьма интригующие; Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях можно увеличить точность уравнений классической теории оболочек. Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирхгофа - Лява; поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда возможно или целесообразно. [43]
Основные работы в рассматриваемой области были выполнены первоначально Ю. А. Шевляковым ( 1953, 1955, 1956) и И. М. Пироговым ( 1956, 1962, 1963), опубликовавшими несколько десятков работ по довольно узкой тематике. Позднее в эти исследования включился Г. Н. Савин со своей школой, расширивший круг исследований отверстиями, контур которых представляет гладкую кривую без угловых точек. Следует отметить, что Гузь опубликовал в те же годы большую серию статей по результатам исследования напряженного состояния около малых отверстий различного очертания в оболочках разной конфигурации; достигнуты эти результаты методом разложения решения по степеням малых параметров. К изложенному следует добавить, что результаты приложения метода малого параметра тем лучше, чем меньше отверстие, в то время как классическая теория оболочек вовсе не позволяет исследовать концентрацию напряжения около очень малых отверстий. [44]
Тонкая оболочка - это упругое трехмерное тело, которое ограничено двумя криволинейными поверхностями. При этом предполагается, что расстояние h между ними мало в сравнении с характерными радиусами R их кривизны. В частности, оболочка считается тонкой при / 3 h / R 0.02 - 0.05, где R - минимальный из характерных радиусов кривизны оболочки. Тот факт, что оболочка тонкая, вместе с предположением об упругом характере ее деформирования, позволяет свести полные трехмерные уравнения динамики твердого деформируемого тела к более простым двумерным уравнениям. При этом получается, так называемая, классическая теория оболочек, которая описывает большинство статических задач и значительную часть динамических задач при действии сравнительно гладких и относительно длительных нагрузок. Однако поведение оболочек под действием достаточно коротких импульсных нагрузок может описываться этой теорией неадекватно. Отметим также, что нестационарные уравнения классической теории оболочек, в отличие от полных трехмерных уравнений теории упругости, не являются гиперболическими. [45]