Cтраница 2
Эта эргодическая теорема является частным случаем известных общих теорем эргодической теории. В такой редакции, по-видимому, публикуется впервые. [16]
Как хорошо известно, метрическая транзитивность играет важную роль в эргодической теории. Однако узнать, какие гамильтонианы приводят к метрически транзитивным преобразованиям, - почти неразрешимая задача. [17]
Если не учитывать теории динамических систем, динамической топологии, эргодической теории, возникших из изучения дифференциальных уравнений и достигнувших определенной самостоятельности, то это приведет к грубому подразделению научной продукции последних двадцати лет на три различных направления, а именно: теорию устойчивости, аналитические методы и качественную теорию дифференциальных уравнений. [18]
Важнейшим результатом, достигнутым в этом направлении, является создание эргодической теории, которая рассматривает условия установления в вероятностных системах определенных предсказуемых форм поведения, не зависящих от начальных условий. Другими словами, существуют некоторые интересующие нас вероятностные характеристики систем, которые инвариантны по отношению к определенным видам преобразований. Об этих характеристиках стоит упомянуть здесь ( хотя для их полного рассмотрения и потребовалось бы гораздо больше места), ибо именно они обеспечили возможность создания единой теории информации, не зависящей от частного вида системы связи. В этом смысле они способствуют выделению самой кибернетики в самостоятельную науку. [19]
В последних четырех главах дается описание тех разделов теории информации, эргодической теории, статистической механики и топологической динамики, на которые понятие энтропии оказало наиболее сильное влияние. Эти главы можно читать независимо друг от друга. Примеры показывают, как идеи, возникшие в одной области, воздействовали на другие области. Недавние применения энтропии в статистической механике и топологической динамике приводятся в гл. В главе 4, посвященной эргодической теории, описывается развитие принадлежащей Колмогорову идеи применения энтропии Шеннона к изучению автоморфизмов пространств с конечной мерой. Кульминацией этой деятельности явилось приведенное в этой главе доказательство теоремы Колмогорова - Орнстейна об изоморфизме. [20]
Вторая линия развития связана со статистической физикой и формированием так называемой эргодической теории. Как теперь известно, вполне состоятельное описание в статистической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако много интересного и важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняется классической гамильтоновой механике. [21]
В теории меры и смежных разделах математики ( например, в эргодической теории) имеется большое число утверждений, относящихся не к индивидуальным измеримым множествам, а к классам, образованным из всевозможных почти совпадающих множеств. Иными словами, множества, принадлежащие одному классу, должны разниться на множество нулевой меры. Мы увидим впоследствии, что система всех классов, будучи разумно упорядочена, оказывается булевой алгеброй. [22]
За глубокие и оригинальные открытия в анализе Фурье, теории вероятностей, эргодической теории и динамических системах. [23]
Чисто формально эта связь возникает, если большой параметр Т - время - эргодической теории рассматривать как большой параметр числа степеней свободы в статистической механике. При этом появляется возможность прямого перенесения понятий и методов статистической механики в новую обстановку. Возникающая при этом теория называется топологической термодинамикой. [24]
Введение специального названия для таких преобразований вызвано тем, что в нек-рых теоремах эргодической теории автоморфизмы, имеющие слишком много периодич. [25]
В 1958 - 1959 гг. Андрей Николаевич объединил в одном семинаре исследования по эргодической теории динамических систем и по гидродинамической неустойчивости. [26]
Вопрос о том, когда два стационарных источника изоморфны, эквивалентен проблеме изоморфизма динамических систем в эргодической теории. Колмогоров доказал утверждение ( с) и, опираясь на него, доказал - решив долго остававшуюся открытой проблему, - что два ДИБП, порождающие распределения которых имеют различные энтропии, не могут быть изоморфными. В знаменитой теореме Орн-стейна ( Ornstein ( 1970)) доказано, что для ДИБП равенство энтропии порождающих распределений влечет за собой изоморфизм. [27]
Привлекательность NILF-гипотезы заключается в том, что она смещает акцент исследования семейства всех рациональных отображений на эргодическую теорию единственного рационального отображения. Следует, однако, заметить, что эта гипотеза ничего не говорит о полугиперболических рациональных отображениях, то есть о фракталах Пуанкаре. [28]
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕКОММУТАТИВНАЯ - раздел теории операторных алгебр, изучающий автоморфизмы С - алгебр с точки зрения эргодической теории. [29]
В заключительной, восьмой главе мы рассматриваем группы автоморфизмов, затрагивая тем самым область, пограничную с эргодической теорией. Основное внимание уделяется проблеме существования инвариантной меры; дается также абстрактная характеристика важнейших нормированных алгебр. [30]