Cтраница 1
Общая теория дифференциальных уравнений позволяет сделать такие заключения: если выполняются указанные в § 2 гл. [1]
Задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями непосредственно по виду любого заданного дифференциального уравнения, независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциях или в квадратурах. [2]
Основная задача общей теории дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы установить связь между свойствами решений уравнения и свойствами самого уравнения, а именно выяснить, какими свойствами обладают решения того или иного дифференциального уравнения и каким условиям следует подчинить правую часть уравнения, чтобы оно допускало решение, обладающее теми или иными наперед заданными свойствами. [3]
Вся вторая глава посвящена общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она начинается с самой классической задачи - задачи Коши для общих систем типа Ковалевской в классе аналитических функций ( т.е. посвящена построению решения в виде ряда) с начальными данными, заданными на гиперплоскости. Рассмотрение задачи Коши с начальными данными на произвольной поверхности естественным образом приводит к одному из фундаментальных понятий - характеристической поверхности и характеристического направления. [4]
Наиболее важное место в общей теории дифференциальных уравнений занимает качественная теория, основателем которой является Пуанкаре. В своих работах Пуанкаре, начиная с 80 - х годов XIX века, пришел к разработке качественных методов в связи с вопросами небесной механики и космогонии, в которых важно не только определить характер решений в течение заданного конечного интервала времени, но также иметь сведения о поведении решения при неограниченном возрастании времени. Начиная с Пуанкаре исследования этого рода ведутся, главным образом, по отношению к системам уравнений, правые части которых не зависят явно от независимого переменного t ( времени) - эти системы впоследствии ( Биркгоф) получили название динамических систем. [5]
В части, относящейся к общей теории дифференциальных уравнений, приведены лишь хорошо известные факты, изложенные многими авторами ( см., например, Ф. Р. Гантмахер [1], Дж. [6]
Тем не менее, в общей теории дифференциальных уравнений теорема Пеано играет важную роль. [7]
Нетрудно, не обращаясь к общей теории дифференциальных уравнений гиперболического типа, получить некоторые полезные дифференциальные соотношения, имеющие место на этих характеристиках. [8]
Как видим, в учебнике отсутствуют общая теория дифференциальных уравнений термодинамики и общие следствия ее. Это обстоятельство определяет особенности построения и изложения в учебнике курса термодинамики. [9]
Указанные уравнения стоят несколько изолированно в общей теории дифференциальных уравнений. Это объясняется, пожалуй, тем, что, как правило, классические проблемы физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям ( или системам) в частных производных второго ( или более высокого) порядка. [10]
Надо заметить, что при разбивке общей теории дифференциальных уравнений на две отдельно даваемые части распадаются на две части и выводы некоторых формул. [11]
В первой из этих книг рассматриваются проблемы общей теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах ( в основном с неограниченными операторами) и не затрагиваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. [12]
Этим в учебнике Грузинцева заканчивается первая часть общей теории дифференциальных уравнений термодинамики. После этого дается определение обратимых процессов и циклов и выводится общая формула внешней работы. Заканчивается эта глава рассмотрением особенностей изотермических и адиабатных процессов. [13]
Несмотря на большое количество результатов, полученные е общей теории дифференциальных уравнений, в том числе, особенно, в последние годы, элементарные методы интегрирования по-прежнему остаются важными методами интегрирования. [14]
В связи с этим возникает потребность в построении общей теории дифференциальных уравнений, методы которой давали бы возможность судить о свойствах всех решений любого дифференциального уравнения только по его аналитической структуре и позволяли бы дать ответ на вопрос о существовании решения с заданными свойствами. Устанавливая условия, гарантирующие наличие решения, обладающего интересующими нас свойствами, общая теория дает также и методы приближенного, а иногда и точного построения этого решения. [15]