Cтраница 3
Изучение задач устойчивости в абстрактных пространствах было начато К. П. Персидским ( 1936 - 1937, 1948, 1950) и М. Г. Крейном ( 1948) и в настоящее время продвинуто далеко вперед, включая доказательство теорем существования функций Ляпунова ( см., например, работы В. И. Зубова, 1954, 1955, 1957; Н. Н. Красовского, 1956), что связано с успехами общей теории дифференциальных уравнений на базе функционального анализа. Для систем, описываемых функциональными уравнениями, важное значение имеет правильный учет начальных возмущений, возможных в реальных условиях, в связи с чем для постановки задачи устойчивости немаловажное значение имеет качественное исследование характера движений. [31]
Среди граничных условий дли уравнений ( 15) или, что то же, ( 16), следует обратить особое внимание на последнее, выражающее задание профиля скоростей в некотором сечении пограничного слоя. Согласно общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, решение уравнений параболического типа при заданных граничных условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за этим сечением, что позволяет назвать само сечение и профиль скоростей в нем начальными. [32]
Среди граничных условий следует обратить особое внимание на последнее, выражающее задание профиля скоростей в некотором начальном сечении пограничного слоя. Согласно общей теории дифференциальных уравнений в частных производных решение уравнений параболического типа при заданных граничных условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за этим начальным сечением. [33]
Особенно хорошо в учебнике изложены общие основы термодинамики и ее принципы. Хорошо изложена также общая теория дифференциальных уравнений термодинамики, несмотря на сложный ( общепринятый) метод ее построения. Пожалуй, из всех учебников того периода, в которых теория дифференциальных уравнений термодинамики строится этим же методом, в рассматриваемом учебнике она строится наиболее просто и последовательно. Тщательная методическая отработанность этого метода в учебнике Грузинцева значительно облегчает изучение рассматриваемого раздела. Этому способствуют также разъяснения автором содержания, особенностей и значения каждого проводимого им действия и вывода. Этот раздел по своему построению и изложению является одним из самых интересных разделов учебника. [34]
Они интересны для общей теории дифференциальных уравнений, а также полезны в анализе конкретных уравнений, встречющихся при решении различных прикладных задач. [35]
По мнению автора, учебник по дифференциальным уравнениям обязательно должен содержать материал, близкий к каким-либо направлениям современных исследований и к приложениям. Поэтому помимо изложения положений общей теории дифференциальных уравнений большое внимание в книге уделено теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, играющих фундаментальную роль в теоретической механике. Рассматриваются вопросы существования и устойчивости колебаний квазилинейных, гамильтоновых и других систем. Особое внимание при этом уделено построению бифуркационных уравнений. Изучены устойчивость решений по первому приближению и простейшие критические случаи теории устойчивости движения. Даны основы первого и второго методов Ляпунова исследования дифференциальных уравнений, метода малого параметра и метода нормальных форм. Изложенная теория применяется к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих колебания консервативной и диссипативнои систем с одной степенью свободы, осциллятора ван-дер - Поля, биологической системы хищник - жертва, изучено явление параметрического резонанса, исследуются колебания гамильтоновых и обратимых систем. [36]
Крупные результаты в области аналитической теории дифференциальных уравнений были получены Пенлеве. Ему принадлежат существенные дополнения к общей теории дифференциальных уравнений первого порядка и глубокие исследования по теории уравнений второго и высших порядков. В работах Пенлеве ( 1888 - 1905) впервые систематически проводится идея исследования интегралов дифференциальных уравнений как аналитических функций Во всей области их существования непосредственно по дифференциальному уравнению. [37]
Классификация этих точек дается обычно в общей теории дифференциальных уравнений. [38]
Вариационные принципы классической механики можно связать с вопросами, которые на первый взгляд могут показаться далекими от них. Например, имеется тесная связь принципа Гамильтона с общей теорией дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Некоторые из таких вопросов мы рассмотрим в следующих главах, однако среди них есть немало таких, которые рассматривать в нашей книге нецелесообразно. [39]
Мы привели в разд. Ситуация здесь вполне аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты построения оценок решений для таких вырожденных задач обсуждаются в гл. [40]
Традиционное место к этой теории занимают те же вопросы, что и в общей теории дифференциальных уравнений. [41]
Итак, эта теорема является в некотором смысле обратной по отношению к нашим предыдущим результатам. Доказательство строится по образцу доказательства Куранта - Гильберта [6] для аналогичной теоремы, относящейся к общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. [42]
Математическое исследование нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков, которые получаются при точном описании процессов регулирования, сложно. Оно значительно упрощается, если задача сводится к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, теория которых является наиболее простой и разработанной частью общей теории дифференциальных уравнений. Поэтому, если это возможно, всегда стремятся привести полученное уравнение к линейному виду. Такая операция называется линеаризацией дифференциального уравнения. [43]
Классический период развития теории дифференциальных уравнений, начавшийся с Ньютона и Лейбница и в основном завершившийся во 24f пояовине XIX века работами Софуса Ли, ставил своей основной задачей нахождение общего решения возможно широких классов уравнений, в элементарных функциях или при помощи выражений, содержащих квадратуры от элементарных функций. Но очень скоро обнаружилось, что для подавляющего большинства уравнений и систем уравнений так поставленная задача неразрешима; таким образом, на этом пути оказалось невозможным построить общую теорию дифференциальных уравнений. Между тем задачи математического естествознания, главным образом механики и в особенности небесной механики, требовали разрешения часто весьма сложных систем уравнений. [44]
Этот метод постановки и построения теории дифференциальных уравнений термодинамики в 1939 г. был доложен автором на термодинамической секции ЭНИН. Он приведен в учебнике автора ( 1947, 1953 и 1960) и был изложен также в более развитом виде в статье К вопросу о постановке и построении общей теории дифференциальных уравнений термодинамики, опубликованной в Научно-методическом сборнике № 3 ( 1953) Военно-воздушной инженерной академии имени проф. [45]