Cтраница 2
В главе III Спектральная теория операторов рассматриваются прежде всего вопросы полноты и базисности систем функций. В § 1 доказаны различные критерии полноты м базисности ( например, теорема Банаха о базисе), изучено важное понятие би-ортогональной системы. В § 2 доказаны три теоремы о самосопряженных операторах - о их приведении к диагональному виду, а именно спектральные теоремы. Сначала доказывается спектральная теорема для операторов в я-мерном пространстве, затем для линейных вполне непрерывных операторов и ограниченных операторов. Изучается спектр таких операторов. Имея в виду приложения, в § 3 Аналитические методы в спектральной теории операторов развивается необходимый материал теории функций комплексного переменного. Сочетание результатов и методов теории операторов и теории аналитических функций сильно расширяет возможности приложений абстрактных результатов. В § 3 изучаются элементарные свойства абстрактных векторнозначных и операторнозначных функций, аналитически зависящих от комплексного параметра, а также исследуются пучки операторов. [16]
В настоящее время спектральная теория открытых электродинамических структур делает лишь первые шаги на пути своего становления. Основные трудности в ее развитии связаны с несамосопряженностью операторов, возникающих при решении спектральных задач. Теория таких операторов, составляющая одно из новых направлений в функциональном анализе, еще далека от завершения. Поэтому часто приходится прибегать к численному экспериментированию, основываясь на физической предпосылке, что спектр открытых волноводных структур является дискретным и конечнократ-ным. [17]
Настоящая глава посвящена спектральной теории некоторых классов вполне непрерывных операторов. Являясь прямым и легко обозримым обобщением соответствующих разделов линейной алгебры и элементарной теории интегральных уравнений, спектральная теория вполне непрерывных операторов представляет наиболее естественное введение в общую спектральную теорию операторов в пространстве Гильберта. [18]
Настоящая глава посвящена спектральной теории операторов в гильбертовом и банаховых пространствах Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду - спектральные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значениях. Наиболее изученным классом операторов являются вполне непрерывные операторы и их подклассы - ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта. [19]
Монография посвящена построению спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с помощью операторов преобразования. Такой подход позволил единым способом и достаточно просто получить все основные результаты спектральной теории как в самосопряженном, так и в несамосопряженном случае. Особое внимание уделено новым разделам теории ( обратным задачам, асимптотическим формулам для спектральных функций и др.), для которых аппарат операторов преобразования оказался наиболее сильным и естественным орудием исследования. В каждом параграфе приведены задачи, содержащие обобщения и уточнения излагаемого материала. [20]
Физики обычно рассматривают спектральную теорию таких операторов и даже операторов более широкого класса на основании полуформальных эвристических принципов, полученных из иллюстративных примеров. [21]
Главным в книге является спектральная теория для сингулярных операторов. Фон-Неймана и других математиков общей спектральной теории симметрических и самосопряженных операторов. Вейля о предельном круге и предельной точке дает полное описание для симметрического дифференциального оператора второго порядка всех его самосопряженных расширений. Общая задача описания всех самосопряженных расширений симметрического оператора была решена значительно позже Дж. [22]
Вначале казалось, что абстрактная спектральная теория полностью охватывает различные частные задачи и дает ответы в принципе на все вопросы. [23]
Другим удивительным примером использования спектральной теории является установление фундаментальных фактов, в частности касающихся полноты, в теории представлений непрерывных компактных групп. [24]
Для возможности применения аппарата спектральной теории при расчете дисперсий и спектральных плотностей случайных функций обычно используют прием статистической линеаризации, основывающийся на замене нелинейной случайной функции fji l в области ее математического ожидания линейной случайной функцией kvx, отвечающей некоторым критериям наилучшего приближения. [25]
Решение ряда важных задач спектральной теории операторов связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основные объекты, характеризующие спектральную задачу для оператора, такие, как резольвента, характеристический определитель, иулями которого являются собственные значения оператора, и др, являются аналитическими функциями спектрального параметра в определенных областях. [26]
Применение новых результатов из спектральной теории стационарных процессов, полученных А.Н. Колмогоровым, к вопросам экстраполирования и интерполирования статистических стационарных рядов и эмпирического определения спектральных свойств таких рядов. В виде области применений и проверки практической пригодности методов намечается выбрать ряды индексов солнечной и ионосферной активности. [27]
Рассмотрены также некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов / г-го порядка, однако со значительно меньшей подробностью, чем это сделано для операторов второго порядка. Так что те части монографии, которые относятся к операторам / г-го порядка, могут служить лишь введением в эту область, которая к настоящему времени успела уже стать весьма обширной. [28]
Псев до дифференциальные операторы и спектральная теория. [29]
Расширен материал главы IV, посвященной спектральной теории операторов. В эгу главу добавлен параграф, посвященный неограниченным операторам и спектральной теории самосопряженных неограниченных операторов, включен также материал, посвященный компактным операторам. Проведены доказательства некоторых утверждений, которые в первом издании содержались в виде задач, а для ряда утверждений даны более подробные доказательства. [30]