Cтраница 3
Вопрос неизмеримо усложняется, когда возникает задача охарактеризовать полный аналитический образ интеграла дифференциального уравнения. В аналитической теории дифференциальных уравнений ставятся в некотором смысле обратные задачи, как, например, следующая: выделить уравнения данного класса, все аналитические решения которого однозначны в рассматриваемой области. В этом направлении известно много интересных результатов различного типа. [31]
Если o ( z) - полином второй степени, то уравнение ( 1) является частным случаем уравнения Римана с тремя различными особыми точками, когда одна из особых точек лежит на бесконечности. Уравнение Римаяа изучается в курсах по аналитической теории дифференциальных уравнений ( см. [18, 19], а также книги: Голубев В. [32]
Задачей аналитической теории дифференциальных уравнений является, как было указано во введении, изучение свойств функций непосредственно по самому виду дифференциальных уравнений. Какие же дифференциальные уравнения изучаются в аналитической теории дифференциальных уравнений. [33]
Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта. [34]
В восьмой главе освещаются некоторые дополнительные вопросы теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В том числе, на основе результатов аналитической теории дифференциальных уравнений, рассматривается вопрос об интегрировании при помощи обобщенных степенных рядов и в качестве примеров дается построение решений уравнения Бесселя и гипергеометрического дифференциального уравнения. [35]
Таким образом, коэффициенты уравнения ( 2) выражаются единственным образом через его фундаментальную систему решений. Этот факт используется, например, в аналитической теории дифференциальных уравнений для построения дифференциального уравнения, фундаментальная система решений которого имеет заданную аналитическую структуру. [36]
Левинсона Теория обыкновенных дифференциальных уравнений дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре - Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе. [37]
Ро ( х), не обращается в нуль. Вопросы о существовании, об аналитических свойствах и о построении решений в окрестности таких точек изучаются в аналитической теории дифференциальных уравнений. [38]
Доказанная теорема единственности может быть значительно обобщена. Из предыдущего ясно, что эти обобщения относятся к вопросам, совершенно отличным от тех, которыми занимается аналитическая теория дифференциальных уравнений. [39]
Кроме того, основные вопросы теории автоморфных функций систематически изложены в книге Г о-луб ев а [16], посвященной аналитической теории дифференциальных уравнений. [40]
Несомненно, что из указанных выше двух классических задач задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки является более простою. В самом деле, решение этой задачи приводится к интегрированию шести уравнений первого порядка, в то время как задача трех тел приводится к интегрированию девяти уравнений второго порядка. Естественно было начинать с попыток приложения общих методов аналитической теории дифференциальных уравнений, именно: к задаче о движении тяжелого твердого тела; кроме того, эта задача представляла еще тот интерес, что она, несомненно, привлекала к себе гораздо менее внимание исследователей, в то время как задаче трех тел ( ввиду несомненного астрономического интереса ее) было посвящено огромное число исследований. [41]
В настоящем параграфе мы покажем, что существование решения можно гарантировать при более слабом требовании относительно правых частей уравнения, а именно мы докажем теорему Пеано, согласно которой, как уже говорилось ранее, для существования решения задачи Коши достаточно потребовать только непрерывности правых частей уравнений в окрестности начальных данных. Многие вопросы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, а также теории устойчивости решения ( движения) в смысле Ляпунова могут рассматриваться и для систем дифференциальных уравнений, не удовлетворяющих условиям единственности. [42]
Истоки ее были заложены в семинарах Граве. Первые результаты, полученные Ю. Д. Соколовым в связи с решением задачи о движении материальной точки, притягивающейся к неподвижному центру и подверженной действию постоянной возмущающей силы, показали его научную самостоятельность и зрелость. Исследования Соколова по качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений динамики носят классический характер и являются большим вкладом в науку. [43]
Теперь я перехожу к истории изучения этой проблемы и немножко скажу о том, какие приложения она имеет. Прежде всего, когда Гильберт формулировал свои проблемы, он обычно давал некоторую мотивацию изучения этих проблем. Здесь у него мотивация довольно странная, внутриматемати-ческая. Он пишет, что если бы эта проблема была решена, то аналитическая теория дифференциальных уравнений приобрела бы законченный вид. Это, конечно, тоже важный момент. Но по сравнению с остальными проблемами, где мотивация была более общематематической, это кажется несколько узковатым. Тем не менее, эта проблема была сформулирована, и история ее довольно любопытная, чем-то, повторяю, напоминающая ситуацию с 16 - й проблемой Гильберта, потому что еще раньше, чем в случае 16 - й проблемы, в 1908 году, югославский математик Племель) предложил полное положительное решение) этой проблемы. [44]
Мне незачем далеко ходить за примерами для подтверждения этой формулы; они у всех перед глазами: такова схема развития основных понятий числа и функции, такова формула великой математической революции XVII столетия, создавшей и выдвинувшей на первое место анализ бесконечно малых. Долгое время математики ограничивались конечным или алгебраическим интегрированием дифференциальных уравнений, но после разрешения многих интересных задач уравнения, разрешимые этим способом, были фактически исчерпаны, и нужно было либо отказаться от дальнейшего прогресса, либо отрешиться от формальной точки зрения и стать на новый аналитический путь. Аналитическое направление в теории дифференциальных уравнений утвердилось недавно; и еще семь лет тому назад покойный проф. Пуанкаре, Но ввиду блестящих ежедневных успехов новых идей, плодотворность и жизненность их не подлежит уже никакому сомнению, и теперь никто не станет серьезно возражать против того, что теория конечного интегрирования потеряла самостоятельное значение и является только частью быстро разрастающейся общей или аналитической теории дифференциальных уравнений. [45]