Cтраница 2
Как можно видеть из приведенного ниже отрывка из предисловия к книге Титчмарша Интегралы Фурье [10], подобные вопросы о справедливости результатов, полученных с использованием математики, не представляют интереса для математика-теоретика. [16]
Он дает обоснование операторному исчислению на основе интеграла свертки, используя работы Титчмарша. В этом случае величину s рассматривают не как комплексную переменную, а как оператор дифференцирования, к которому применимы все теоремы о линейных операторах. Интегральные преобразования для решения дифференциальных уравнений с заданными граничными и начальными условиями используют в следующем порядке. [17]
Условие ( 1) обеспечивает сходимость бесконечного произведения ( 2) ( см. Титчмарш [ 1951, стр. Если существует такая функция О ( О. [18]
С помощью лемм I, 2, 6 и второй части теоремы Валирона - Титчмарша приходим к следующему результату. [19]
Лтеория преобразования Фурье ( теорема Планшереля была обобщена Бохнером, Ватсоном, Планшерелем и Титчмаршем на другие интегральные преобразования. [20]
Однако поскольку вопросы, связанные с рядами Фурье, изложены с современной точки зрения в недавно вышедшей книге Титчмарша Теория функций, я отказался от первоначально задуманного плана создания исчерпывающего трактата и ограничился изложением некоторых вопросов теории интеграла Фурье и связанных с ним проблем. [21]
Эта книга, равно как и книга Титчмарша, ведет свое начало от рукописи Бора-Литтльвуда, на которую ссылается Титчмарш в своем предисловии. Однако при подготовке к окончательному изданию пришлось ее заново пересмотреть с тем, чтобы привести в соответствие с положением проблемы на сегодняшний день и учесть все улучшения в технике доказательств, введенные со времени ее написания. [22]
Рассмотрим обобщение теоремы С из § 1.3, основанное на теореме, принадлежащей Винеру и Хопфу [1] ( см. также Титчмарш [1], стр. Тогда в любой такой внутренней полосе функция К. [23]
Есчи условие т т теоремы А из § 1.4 не выполняется, то вместо этой теоремы справедлива следующая георема ( Титчмарш [1] стр. [24]
В самом деле, известно, что условие 2 выполняется автоматически во всех точках Лебега функции у ( х) ( Титчмарш [ 1951, стр. [25]
У Титчмарша и Снеддона [1, 4] рассматриваются и другие интегральные преобразования, изложенные в этом параграфе. Следует отметить, что не существует таблиц этих преобразований, которые по своей полезности равнялись бы таблице Кзмпбелла и Фостера [3] или каким-либо опубликованным таблицам преобразования Лапласа. [26]
У Титчмарша и Снеддона [1, 4] рассматриваются и другие интегральные преобразования, изложенные в этом параграфе. Следует отметить, что не существует таблиц этих преобразований, которые по своей полезности равнялись бы таблице Кэмпбелла и Фостера [3] или каким-либо опубликованным таблицам преобразования Лапласа. [27]
Конечно, для обеспечения строгости нашего анализа необходимо провести дальнейшие рассуждения. В книге Титчмарша [7] рассматривается случай, когда / ( х) является экспоненциальной функцией. [28]
В заключение данного параграфа обратим внимание на две важные теоремы, характеризующие причинность в плоскости преобразования. Первую из них приписывают Титчмаршу [38], но она также имеется у Пэли и Винера [30] и формулируется следующим образом. [29]
Теперь мы знаем, что epscp ( s) ограничена на прямых а с, - оо т оо и - ооа с, т - 0 и является функцией порядка не более чем второго порядка минимального типа в полуплоскости а с. Применяя принцип Фрагмена - Линделйфа ( Титчмарш [ 1951, стр. Согласно теореме Лиувилля ( Титчмарш [ 1951, стр. [30]