Cтраница 3
Можно сказать, что этим и исчерпываются все решения уравнения ( 358), принадлежащие определенному классу функций. Формулировка соответствующего результата имеется в упомянутой книге Титчмарша ( стр. [31]
Это выражение стремится к нулю при п - оо ( задача 52), если только х достаточно велико. Теперь утверждение следует из теоремы Витали ( см. Титчмарш [1], стр. [32]
Здесь будет приведено доказательство этой теоремы, принадлежащее Титчмаршу. Но предварительно нам понадобится несколько лемм. [33]
В этой главе, после общего введения, мы рассматриваем только несколько избранных проблем, связанных с интегралом Фурье. О других частях теории и библиографию см. в следующих книгах: Титчмарш, Интегралы Фурье, Бохнер Лекции об интегралах Фурье, Винер Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Пэли и Винер, Преобразования Фурье в комплексной области и соответствующие главы книги Шварца, приведенной в библиографии. Более давние работы указаны в статье Бурхарда, включенной в библиографию. [34]
Следующий результат может быть доказан точно так же, как была доказана теорема 3.2 а. Нужный здесь аналог леммы 3.2 сводится к частному случаю известного результата; см Титчмарш [ 1948, стр. [35]
Нужная здесь факторизация выражается через гамма-функции. Более подробные указания даны в работе Хейнса [5], где исправлены неточности, допущенные в книге Титчмарша [1], стр. [36]
Учитывая замечания, сделанные в § 3, о нулевом элементе множества можно коротко сказать: если свертка двух функций равна нулю, то по крайней мере одна из этих функций равна нулю. В общем случае, когда на функции не накладывается никаких дополнительных ограничений, свойство 5 было впервые доказано Титчмаршем, поэтому часто свойство 5 называют теоремой Титч-марша. [37]
С той точки зрения, которая принята в этой книге, наиболее прямым ходом дальнейшего решения представляется следующий. Титчмарш же рассуждает следующим образом. [38]
Теперь мы знаем, что epscp ( s) ограничена на прямых а с, - оо т оо и - ооа с, т - 0 и является функцией порядка не более чем второго порядка минимального типа в полуплоскости а с. Применяя принцип Фрагмена - Линделйфа ( Титчмарш [ 1951, стр. Согласно теореме Лиувилля ( Титчмарш [ 1951, стр. [39]
Лннни-ком был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были решены проблема Харди - Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. [40]
Кроме ограниченного решения, могут, конечно, существовать непрерывные решения 9 ( х), неограниченные на промежутке-содг со. Вместо условия ограниченности решения иногда ставят усло - ие, чтобы существовал ин - Tcrp. Уиювие существования и единственности решения в этом смысле с использованием интеграла Лебега указано, например, в книге Титчмарша Введение в теорию интегралов Фурье ( Гостехиздат, 1948 г., стр. [41]
Где можно быстро ознакомиться, скажем, с ТФКП. На 15 страницах там изложено ядро теории аналитических функций - и при наличии определенной математической зрелости схватить главную нить можно в один присест. На эту тему есть, конечно, замечательная книга Титчмарша Теория функций, но для ее освоения требуется намного больше времени и сил, что на первой итерации в условиях вторичной потребности - - неодолимо. [42]
Такая система двух интегральных уравнений, одно из которых справедливо на одной части области изменения независимой переменной, а второе - на другой, называется системой парных интегральных уравнений. Общая теория парных интегральных уравнений весьма сложна и недостаточно еще развита. Но задача о заряженном диске в различных вариантах уже давно привлекает к себе внимание. Титчмарш [ НО ] для решения несколько более общей системы парных интегральных уравнений применяет преобразование Мел-лина. [43]
Предметом настоящей монографии является теория распределения простых чисел в натуральном ряде. Глава, посвященная элементарной части теории, включена как в силу своего исторического интереса, так и вследствие самостоятельной ценности применяемых в ней методов. Однако в основном книга посвящена аналитической теории; основывающейся на дзета-функции Римана. Таким образом эта книга примыкает к 26-му выпуску настоящей серии) ( E. Titchmarsh, The zeta-function of Rie-mann), вышедшему в свет в 1930 г.; однако логическая последовательность обеих книг прямо противоположна хронологическому порядку их опубликования. Излагаемые здесь свойства дзета-функции можно отнести скорее к классической части теории; в своем большинстве они приведены Титчмаршем во введении без доказательства. В настоящей книге эти свойства обосновываются во всех деталях ( за исключением нескольких изолированных ссылок на Титчмарша, не отражающихся на понимании остального текста), причем соответствующие ее части могут в свою очередь служить введением к более глубокому изучению дзета-функции в книге Титчмарша. Настоящая монография не обращается исключительно к специалистам, которые найдут исчерпывающее изложение предмета в известных книгах Ландау Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen и Vorlesungen tiber Zahlentheorie; ее цель - сделать предмет доступным более широкому кругу читателей. [44]
Предметом настоящей монографии является теория распределения простых чисел в натуральном ряде. Глава, посвященная элементарной части теории, включена как в силу своего исторического интереса, так и вследствие самостоятельной ценности применяемых в ней методов. Однако в основном книга посвящена аналитической теории; основывающейся на дзета-функции Римана. Таким образом эта книга примыкает к 26-му выпуску настоящей серии) ( E. Titchmarsh, The zeta-function of Rie-mann), вышедшему в свет в 1930 г.; однако логическая последовательность обеих книг прямо противоположна хронологическому порядку их опубликования. Излагаемые здесь свойства дзета-функции можно отнести скорее к классической части теории; в своем большинстве они приведены Титчмаршем во введении без доказательства. В настоящей книге эти свойства обосновываются во всех деталях ( за исключением нескольких изолированных ссылок на Титчмарша, не отражающихся на понимании остального текста), причем соответствующие ее части могут в свою очередь служить введением к более глубокому изучению дзета-функции в книге Титчмарша. Настоящая монография не обращается исключительно к специалистам, которые найдут исчерпывающее изложение предмета в известных книгах Ландау Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen и Vorlesungen tiber Zahlentheorie; ее цель - сделать предмет доступным более широкому кругу читателей. [45]