Cтраница 4
Более общо, проверить, что коммутатор [ X, Y ] XY - УХ в любом ассоциативном кольце удовлетворяет тождеству Якоби. [46]
Тождества для треугольных и квадратных чисел, подобные формуле произведения Эйлера ( см. (12.1) и (12.2)), также можно получить из тождества Якоби для тройного произведения. Оба приведенные ниже тождества были получены Гауссом до того, как Якоби открыл тождество для тройного произведения. [47]
Скобки Ли наделяют векторные поля дополнительной алгебраической структурой, поскольку как произведение скобки Ли антикоммутативны, дистрибутивны, а вместо ассоциативного закона удовлетворяют тождеству Якоби. [48]
СИЛУ этого формула ( 23) - скобка Пуассона двух негладких функционалов - обладает при р 0 патологическими свойствами - например, для нее не выполнено тождество Якоби. Указанная трудность является серьезным препятствием при переносе квантового метода обратной задачи на неультралокальный случай. Заметим еще, что спектральные инварианты матрицы монодромии - гладкие функционалы; поэтому формула ( 23), как обычно, приводит к инволютивности соответствующих интегралов движения. [49]
Хотя эти генераторы и важны в некоторых моделях, можно согласованно положить их равными нулю в ( 1) и ( 2), не нарушая тождеств Якоби. [50]