Cтраница 4
Пусть е ( /) - полное пространство конечных числовых непрерывных функций, определенных на компактном интервале / [ а, Ь ] из R ( g ( /) наделено топологией равномерной сходимости ( Общая топология, гл. Пусть Л - подмножество пространства ( /), образованное функциями х, имеющими хотя бы в одной точке t [ i b ] ( зависящей от х) конечную правую производную. Показать, что А является тощим множеством в g ( /) ( Общая топология, гл. IX, § 5, п 2) и, следовательно, его дополнение, то есть множество функций, непрерывных па / и не имеиндих конечной правой производной пи в одной точке интервала /, есть подпространство Бэра пространства g ( /) ( Общая топология, гл. [46]
Указанная возможность тесно связана со с в о й-ством аппроксимации, к-рое состоит в том, что L ( E) содержит сеть операторов конечного ранга, сходящуюся к единичному оператору в топологии равномерной сходимости на всех предкомпактных множествах. Если Е - банахово пространство, то след любого Я. Тем самым решен и вопрос об однозначности отображения Г: существует такой элемент и. Если локально выпуклое пространство Е обладает свойством аппроксимации, то каждый Я. [47]
Но это означает, что последовательность Yn ( t), re l, фундаментальна в полном пространстве всех непрерывных отображений отрезка [ s, s 6 ] в conv X Q топологией равномерной сходимости. [48]
Будем называть кольцо Р с: С ( X) полным кольцом функций на тихоновском пространстве X, если Р содержит все постоянные функции, разделяет точки и замкнутые множества и замкнуто относительно топологии равномерной сходимости. [49]
Тогда уравнение (7.44) имеет локальное решение при t 0, причем интервал существования решения пропорционален / () Ц 1 ( По), а сажо решение непрерывно зависит от f () в топологии равномерной сходимости на компактах. [50]