Cтраница 2
Действительно, лагранжево многообразие L, будучи единственной се-ператрисой устойчивых точек гамильтоновой системы (3.1), представляет изолированное в топологии поточечной сходимости сечение расслоения T Rn П р - 1 ( 0) в любой окрестности начала координат О Е Rn. [16]
Действительно, лагранжево многообразие L, будучи единственной се-ператрисой устойчивых точек гамильтоновой системы (3.1), представляет изолированное в топологии поточечной сходимости сечение расслоения T Rn П ( р - 1 ( 0) в любой окрестности начала координат О Е Rn. [17]
Если i: Y - Z - гомеоморфное вложение, то Ф: YX - ZX также есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений. У - - Уг есть сужение. Вообще говоря, отображение W - не является ни инъективным, ни отображением на, так как некоторые элементы пространства YT могут не допускать продолжения на все пространство X. Yx - YT есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости, а когда У R - относительно топологии равномерной сходимости. [18]
Таким образом, все множества вида ( 8) и все множества, открытые относительно топологии подпространства декартова произведения, суть открытые множества в топологии поточечной сходимости. [19]
Докажите, что для любых топологических пространств X, Y, Z экспоненциальное отображение Л: У2х - о ( улуг есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений. [20]
Покажите, что сложение и вычитание функций есть непрерывное отображение произведения Rx X Rx в Rx как относительно топологии равномерной сходимости, так и относительно топологии поточечной сходимости на Rx. Проверьте, что умножение функций есть непрерывное отображение произведения Rx X Rx в Rx относительно топологии поточечной сходимости. Покажите, что умножение функций на вещественные числа не является непрерывным отображением Rx X R в Rx относительно топологии равномерной сходимости. [21]
Покажите, что множества M ( x U), где х Х и U принадлежит фиксированной предбазе 3 пространства Y, образуют предбазу пространства Yx с топологией поточечной сходимости. [22]
Поскольку топологические группы ( В, ) и ( С, ) изоморфны, то нам нужно доказать, что множество 6 ( ДЛ) плотно в С в топологии поточечной сходимости. Мы уже отметили, что 6 ( ДЛ) состоит из непрерывных характеров для R. Нужно показать, что каждое непустое открытое подмножество О С С содержит непрерывный характер для R. Достаточно показать, что в нем содержится непрерывный характер. [23]
Каковы бы ни были топологические пространства X, У, подмножество А пространства X и замкнутое подмножество В пространства У, множество М ( А, В) замкнуто в пространстве Yx с топологией поточечной сходимости и тем более в пространстве Yx с компактно-открытой топологией. [24]
Докажите, что не существует метрики р на множестве I, обладающей тем свойством, что lim р ( /, /) 0 тогда и только тогда, когда / lim / - относительно топологии поточечной сходимости. [25]
Заметим, что на Rx компактно-открытая топология обычно отличается от топологии равномерной сходимости ( см. теоремы 4.2.17 и 4.2.19); действительно, это следует из примера 2.6.8, так как на KN компактно-открытая топология совпадает с топологией поточечной сходимости. Компактно-открытая топология обычно отличается и от топологии поточечной сходимости. Читатель легко проверит, что множество I1 служит тому примером. [26]
Эквивалентность условий ( i) и ( v) предложения 1.4.1 показывает, что достаточно доказать следующее: если / е Rx принадлежит замыканию множества А с: Rx в топологии равномерной сходимости, то / принадлежит замыканию множества А в топологии поточечной сходимости. [27]
Aloo, существует бесконечная последовательность гиперболических многообразий Afft Я3 / Ф & ( Г), аппроксимирующих многообразие М в том смысле, что при k - - - оо гомоморфизмы ФА: Г - Isom Я3 сходятся к включению Г с Isom Я3 в топологии поточечной сходимости. [28]
Условием такого рода для задачи оптимальной стабилизации, имеющей конечное число решений, является топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова в пространстве решений уравнения Гамильтона-Якоби, в том смысле что график градиента потенциальной функции изолирован в любой окрестности начала координат в пространстве графиков градиентов решений уравнения Гамильтона-Якоби относительно топологии поточечной сходимости. [29]
Условием такого рода для задачи оптимальной стабилизации, имеющей конечное число решений, является топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана - Ляпунова в пространстве решений уравнения Гамильтона-Якоби, в том смысле что график градиента потенциальной функции изолирован в любой окрестности начала координат в пространстве графиков градиентов решений уравнения Гамильтона-Якоби относительно топологии поточечной сходимости. [30]