Cтраница 4
Как видно из ( 38), С замкнуто в этой ( хаусдорфовой) топологии. При этом ( С, ) является топологической группой. Таким образом, без труда устанавливается, что множество решений функционального уравнения вида ( 38) замкнуто в слабой звездной топологии и в топологии поточечной сходимости. [46]
Так, критерий метризуемости сводится здесь просто к требованию счет-ности характера. Сюда относятся теоремы о бикомпактах Эберлейна ( каждый бикомпакт Эберлей-на является пространством Фреше - Урысона, вес бикомпакта Эберлейна равен его числу Суслина), теорема: если X - бикомпакт, то теснота пространства С ( Х) в топологии поточечной сходимости счетна. [47]
Если i: Y - Z - гомеоморфное вложение, то Ф: YX - ZX также есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости на пространствах отображений. У - - Уг есть сужение. Вообще говоря, отображение W - не является ни инъективным, ни отображением на, так как некоторые элементы пространства YT могут не допускать продолжения на все пространство X. Yx - YT есть гомеоморфное вложение относительно топологии поточечной сходимости, а когда У R - относительно топологии равномерной сходимости. [48]
Далее рассматривается также пространство R, где R - вещественная прямая с обычной топологией, порожденной метрикой или порядком. Очевидно, R - множество всех вещественных функций на X. В R выделяется подмножество С ( Х), состоящее из всех непрерывных на пространстве X вещественных функций. Наделенное топологией подпространства топологического произведения множество С ( Х) обозначается СР ( Х) и называется пространством непрерывных вещественных функций на X в топологии поточечной сходимости. [49]
Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами ( в отличив от метризуемости), иначе, напр. Большим недостатком паракомпактности является отсутствие мультипликативности: произведение двух наракомпактов может паракомпактом но быть. С другой стороны, в классе хаусдорфовых пространств прообраз паракомиакта при совершенном отображении является паракомпактом, и образ пара-компакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом. К числу наракомпактов относятся, в частности, Линделефа пространства. Для пространства всех непрерывных действительных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна лннделефовости. Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается нек-рым лежащим в нем бикомпактом, то оно паракомпактно. Важный пример паракомиактов - полиэдры, стоящие за б И - - комплексами. [50]