Cтраница 3
Всюду в этом параграфе Т обозначает аддитивно записываемую абелевую полугруппу с нейтральным элементом 0, а Е - вещественное векторное пространство RT. Если наделить Е топологией поточечной сходимости на Т, то Е становится отделимым локально выпуклым пространством. [31]
Аналогично можно определить в C ( S) топологию равномерной сходимости на любом семействе компактов ( Qibe / покрывающем все S. В эту схему укладывается топология поточечной сходимости. [32]
Преимуществом топологии равномерной сходимости ( на всем пространстве) является ее метризуемость. Но обладает важными преимуществами и топология поточечной сходимости - слабейшая в том же круге топологий. Во-первых, эта топология обладает наибольшим запасом компактов, как слабейшая, а компактность является одним из наиболее полезных свойств множества функций. Во-вторых, имеет место фундаментальный результат Дз. Nagata), к-рым изучение любых тихоновских пространств ставится в прямую связь с исследованием топологич. А именно, тихоновские пространства А и У гомеоморф ны в том и только в том случае, если топологически изоморфны топологич. X) и Сp ( Y) непрерывных функций на X и У, взятые в топологии поточечной сходимости. [33]
YX) F, где Yx взято с компактно-открытой топологией. F компактно-открытая топология совпадает с топологией поточечной сходимости. Значит, F F и множество F - компакт. [34]
Заметим, что на Rx компактно-открытая топология обычно отличается от топологии равномерной сходимости ( см. теоремы 4.2.17 и 4.2.19); действительно, это следует из примера 2.6.8, так как на KN компактно-открытая топология совпадает с топологией поточечной сходимости. Компактно-открытая топология обычно отличается и от топологии поточечной сходимости. Читатель легко проверит, что множество I1 служит тому примером. [35]
Наконец, слабая топология на А есть тоже топология поточечной сходимости на В. [36]
Последовательность операторов Тт, очевидно, компактна в топологии поточечной сходимости; пусть Г - некоторая предельная точка. [37]
Последний параграф посвящен пространствам отображений. Вводятся топология равномерной сходимости на множестве непрерывных вещественных функций и топология поточечной сходимости на множестве непрерывных отображений. Параграф завершается обсуждением приемлемых топологий на пространствах отображений. Та же тема рассматривается далее в § 3.4, где определяется другая топология па пространствах отображений и доказываются более глубокие результаты. [38]
Из предложения 2.6.3 и примера 2.3.12 следует, что пространство Yx с топологией поточечной сходимости, вообще говоря, не является нормальным пространством даже для совершенно нормального пространства У. [39]
Понятие гауссовской меры тесно связано с понятием гауссов-ского случайного процесса. Действительно, мера, индуцированная таким процессом на пространстве траекторий IR с топологией поточечной сходимости, является гауссовской. [40]
Покажите, что сложение и вычитание функций есть непрерывное отображение произведения Rx X Rx в Rx как относительно топологии равномерной сходимости, так и относительно топологии поточечной сходимости на Rx. Проверьте, что умножение функций есть непрерывное отображение произведения Rx X Rx в Rx относительно топологии поточечной сходимости. Покажите, что умножение функций на вещественные числа не является непрерывным отображением Rx X R в Rx относительно топологии равномерной сходимости. [41]
На множестве RN топология равномерной сходимости отличается от топологии поточечной сходимости. В самом деле, легко проверить, что функция / 0 е RN, определенная условием f0 ( x) Q для дгеЛГ, принадлежит замыканию множества A fe RN: f ( N): Q, 1 и / - ( 0) 0 RN в топологии поточечной сходимости, однако / 0 не принадлежит замыканию множества А в топологии равномерной сходимости. [42]
Далее выбираем в тихоновском произведении из совокупности аппроксимаций обобщенную сходящуюся подпоследовательность. Поскольку тихоновская топология есть топология поточечной сходимости ( где аргументами служат начальные данные MQ), то дальше повторяются рассуждения первой части доказательства. Таким образом, для каждого начального условия из MQ построено однозначно функциональное решение задачи, являющееся пределом аппроксимаций по некоторой общей для всех начальных данных направленности параметров метода. Очевидно, тем самым построен искомый класс однозначной разрешимости задачи Коши. [43]
Из предложения 2.3.6 следует, что топология поточечной сходимости является собственной. А ( /) непрерывно для любой точки XQ е X. С другой стороны, топология поточечной сходимости, вообще говоря, не является допустимой. В самом деле, для этой топологии факт принадлежности g множеству ( Yx) z означает, что для всех ZQ е Z и х0 Х отображения [ g ( zo) ] ( x) и [ g ( z) ] ( xo) непрерывны, в то время как факт принадлежности А -) множеству У2 х х - означает, что отображение g непрерывно по обеим координатам. [44]
Далее выбираем в тихоновском произведении из совокупности аппроксимаций обобщенную сходящуюся подпоследовательность. Поскольку тихоновская топология есть топология поточечной сходимости ( где аргументами служат начальные данные MO), то дальше повторяются рассуждения первой части доказательства. Таким образом, для каждого начального условия из MQ построено однозначно функциональное решение задачи, являющееся пределом аппроксимаций по некоторой общей для всех начальных данных направленности параметров метода. Очевидно, тем самым построен искомый класс однозначной разрешимости задачи Коши. [45]