Cтраница 1
Комбинаторная топология ( 2 измерений) и есть учение о различных свойствах ( двумерных) комплексов. [1]
В комбинаторной топологии топологические треугольники называются двумерными топологическими симплексами, стороны - одномерными симплексами, а вершины - нульмерными симплексами. [2]
В комбинаторной топологии такой же объект называется комплексом остовов. [3]
В комбинаторной топологии ( говоря грубо) кривые заменяются пали-гонами, поверхности - полиэдрами, причем допускаются известные преобразования. При этом обобщения теоремы Эйлера о многогранниках играют существенную роль и этому присоединяются известные связи с теорией дискретных групп. [4]
Таким образом стремится комбинаторная топология сохранить классическое элементарно-геометрическое понятие фигуры, как конечной схемы, составленной из простых элементов. Однако, последовательное применение этого принципа наталкивается на большие трудности. В самом деле, пусть мы имеем геометрически данную нам фигуру в обычном, самом простом смысле слова, например - поверхность обыкновенного шара. Пусть эта поверхность двумя различными способами разбита на, криволинейные треугольники. Можем ли мы утверждать, что, подразделяя надлежащим образом треугольники обоих разбиений, мы всегда можем достигнуть того, что оба наши разбиения ( после подразделений) будут иметь то же комбинаторное строение. [5]
Этим примером из комбинаторной топологии мы заканчиваем наше сообщение о новейших геометрических исследованиях и переходим к тому, чтобы дать еще два дополнения к рассмотренным ранее темам одно из анализа, другое из алгебры. [6]
Переходя к книге П.С. Александрова Комбинаторная топология, надо заметить, что она является систематической монографией, охватывающей большой фактический материал и поднимающейся даже в изложении фактов, полученных не самим автором, до уровня высокой оригинальности. Весь классический материал комбинаторной топологии и значительная часть теоретико-множественной топологии самым глубоким образом переработаны здесь с новых позиций и существенно обогащены собственными результатами автора, а отдельные главы этой книги могли бы быть напечатаны в виде самостоятельных работ. Оригинальные методы и установки автора пронизывают все изложение во всех его мельчайших деталях. Таким образом, книга П.С. Александрова отражает значительную часть творческого пути ее автора. [7]
То-есть является элементарной кривой в смысле комбинаторной топологии ( см. Александров, , гл. [8]
Книга - здесь впервые упоминается книга П.С. Александрова Комбинаторная топология, которая была полностью подготовлена к публикации в 1941 году, но война надолго отсрочила выход этой книги, и она вышла лишь в 1947 г. в Физмат - гизе. [9]
Объем книги - вышедшая в 1947 г. Комбинаторная топология П.С. Александрова содержит 660 страниц. [10]
Свяжем введенные выше понятия с основными идеями комбинаторной топологии. При этом некоторые из результатов будут повторять материал, изложенный ранее, но он будет представлен с другой точки зрения. В частности, будет дано еще одно доказательство теоремы о раскрашивании. [11]
Однако случай кратного собственного значения требует привлечения понятий комбинаторной топологии, в связи с чем мы его здесь не касаемся. [12]
Плодотворный подход к моделированию пористых сред с привлечением математического аппарата комбинаторной топологии сформулирован в работе [40] на примере построения математического описания процесса спекания металлического порошка. Главным достоинством данного подхода является его инвариантность по отношению к непрерывным деформациям, происходящим в процессе спекания частиц порошка. [13]
Приведенные здесь наблюдения Эйлера могут рассматриваться как отдаленные прообразы идей комбинаторной топологии - топологии комплексов и многогранников, построенной много позднее Пуанкаре. Следует иметь в виду, что использование комбинаторики при определении и изучении топологических инвариантов геометрических фигур является лишь одной из их интерпретаций, которая дала удобный и строгий метод их определения на первом этапе развития топологии и, конечно, сама по себе может быть полезна в некоторых приложениях. Те же самые топологические инварианты, однако, допускают и другую интерпретацию в ряде случаев - например, с точки зрения дифференциальной геометрии и математического анализа. В качестве примера, вернемся к выпуклым многогранникам ( пример 1 выше) и, несколько сгладив их вдоль ребер и во всех углах, перейдем к общим гладким выпуклым замкнутым поверхностям в R3 - границам выпуклых тел. [14]
Уже на этих элементарных примерах видна основная тенденция так называемой комбинаторной топологии, являющейся самой старой и, если так можно выразиться, классической частью топологии. [15]