Cтраница 3
Заметим еще, что любая триангуляция замкнутого многообразия состоит из конечного числа 7, в то время как для открытого многообразия число 7 бесконечно. Комбинаторная топология исходит из этого общего принципа при определении поверхностей, а также более общих пространств, которые она изучает. [31]
Хорошо развитый аппарат комбинаторной топологии [1, 3] позволяет решить некоторые задачи классификации многогранников. В этом параграфе будут введены основные определения и понятия. [32]
Переходя к книге П.С. Александрова Комбинаторная топология, надо заметить, что она является систематической монографией, охватывающей большой фактический материал и поднимающейся даже в изложении фактов, полученных не самим автором, до уровня высокой оригинальности. Весь классический материал комбинаторной топологии и значительная часть теоретико-множественной топологии самым глубоким образом переработаны здесь с новых позиций и существенно обогащены собственными результатами автора, а отдельные главы этой книги могли бы быть напечатаны в виде самостоятельных работ. Оригинальные методы и установки автора пронизывают все изложение во всех его мельчайших деталях. Таким образом, книга П.С. Александрова отражает значительную часть творческого пути ее автора. [33]
В дальнейшем тематика русской топологической школы значительно расширилась. В эту тематику была включена комбинаторная топология Была установлена связь этой последней с общей теорией топологических пространств. В конце 20 - х годов начал работать ученик П.С.Александрова Л. С. Понтрягин, обогативший топологию рядом открытий первостепенной значимости. [34]
Эта формула легла в основу комбинаторной топологии. [35]
Вместе с тем, она является систематическим курсом топологии, в чрезвычайно отточенном виде излагающим основы этой дисциплины так, что может служить пособием для аспирантов и студентов старших курсов. Этот комплекс свойств делают книгу П.С. Александрова Комбинаторная топология выдающимся и вполне своеобразным произведением не только отечественной, но и мировой математической литературы. [36]
Для чтения книги нужны знания основ функционального анализа в объеме обычного университетского курса ( например, первые главы курса Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [1] или книги Г. Е. Шилова [1]; все понятия, связанные с полуупорядоченными пространствами, в книге подробно описываются. В ряде мест применяются элементарные понятия комбинаторной топологии. [37]
В бумагах А.Н. Колмогорова обнаружены несколько листочков, на которых от руки написан печатаемый здесь ОТЗЫВ. Он подписан и датирован - 31 мая 1941 г. Сама же книга П.С. Александрова Комбинаторная топология увидела свет, как известно, лишь в 1947 г. Понятно, что причиной такой чудовищной задержки с публикацией ( как видно из ОТЗЫВА, в мае 1941 г. книга была уже полностью готова) явилась война, грянувшая меньше чем через месяц после написания этого отзыва. [38]
Понтрягину и его ученикам, Владимиру Григорьевичу Болтянскому, Михаилу Михайловичу Постникову и др., принадлежит ряд важнейших результатов по топологии многообразий. В 1934 - 1935 гг. академик Андрей Николаевич Колмогоров и независимо от него Александер ввели в комбинаторную топологию метод верхних гомологии, позволивший ученым, в том числе П. С. Александрову и К - А. [39]
Предполагается, что ] любую карту на плоскости или поверхности шара можно раскрасить только четырьмя красками таким образом, чтобы никакие две смежные страны не были одного и того же цвета. Эта гипотеза тесно связана с наиболее модными направлениями теории графов, а в разделе математики, называемом комбинаторной топологией, она действовала подобно катализатору. На протяжении более чем половины столетия многие математики ( кое-кто говорит, что все) предпринимали попытки решить эту проблему, но смогли доказать справедливость гипотезы только для отдельных случаев... Единодушно признается, что гипотеза справедлива, но маловероятно, что она будет доказана в общем случае. [40]
В студенческие же годы началась и настоящая научная деятельность Андрея Николаевича. На первом курсе ( 1920 - 1921) он слушает лекции Н.Н. Лузина по теории аналитических функций, лекции А.К. Власова по проективной геометрии и лекции П.С. Урысона по комбинаторной топологии. На одной из своих лекций, посвященной доказательству теоремы Коши, Н.Н. Лузин предложил слушателям доказать такое утверждение: Пусть квадрат разделен на конечное число квадратов. Тогда для любой константы С найдется такое число С, что для всякой кривой длины не больше С сумма периметров задевающих кривую квадратов не превосходит С [ Б: кн-50, с. Мне удалось показать, - вспоминал Андрей Николаевич [ Буц - П ], - что в действительности это утверждение ошибочно. Николай Николаевич сразу понял идею примера, опровергающего это предположение. [41]
Ниже дается краткий обзор ряда основных результатов, достигнутых чисто аналитическими методами в изучении сингулярных поверхностей фейнмановских интегралов. В последнем параграфе этой главы мы укажем на связь этих результатов с топологической теорией и на элементарном уровне изложим основные свойства абелевых интегралов, следуя основным этапам в истории развития комбинаторной топологии. [42]
Впрочем, открытия Кантора и особенно знаменитая теорема, устанавливающая равномощность R и Rn ( которая, казалось, ставит под вопрос даже понятие размерности)), показали, что для подведения надежной базы под рассуждения в геометрии и топологии необходимо полностью освободить их от всякого обращения к интуиции. Мы уже говорили ( см. Исторический очерк к главе I), что эта потребность породила современную концепцию общей топологии; но еще до создания этой последней началось строгое изучение топологии числовых пространств и наиболее непосредственных их - обобщений ( n - мерных многообразий) методами, относящимися главным образом к той ветви топологии, которую называют Комбинаторной топологией или, лучше, Алгебраической топологией. Этой теории будет посвящена специальная книга настоящего трактата, и там читатель найдет сведения об исторических этапах ее развития; в настоящей главе мы ограничились установлением наиболее элементарных топологических свойств числовых и проективных пространств, которые исторически послужили отправным пунктом для методов алгебраической топологии. [43]
В настоящее же время полиэдры вытеснены на периферию алгебраической топологии, а их теория - в значительной мере независимая от алгебраической топологии - называется кусочно линейной топологией. Поэтому употребление термина комбинаторная топология следует признать совершенно устаревшим. [44]
Для читателей, приступающих к изучению всей книги, выделение этих глав тоже педагогически целесообразно. Оно дает возможность еще до изучения всей сложной системы вспомогательных конструкций комбинаторной топологии соприкоснуться с непосредственной геометрической реальностью. [45]