Cтраница 3
В этой главе мы вводим основные понятия общей топологии. [31]
Теория размерности не является частью классического курса общей топологии. Главная причина этого в том, что развитая первоначально для метризуемых компактов и распространенная затем на сепарабельные метризуемые пространства теория размерности только частично обобщается на топологические Пространства. Более того, фундаментальная теорема теории размерности для сепарабельных метризуемых пространств, которая утверждает, что ind, Ind и dim совпадают, не выполняется ни в классе всех метризуемых пространств, ни в классе всех компактов. Таким образом, для общих пространств мы имеем три теории размерности вместо одной, каждая из которых несколько беднее) и менее гармонична, чем теория размерности сепарабельных метризуемых пространств. Однако все эти теории сейчас развиты достаточно для того, чтобы быть включенными в книгу по общей топологии. Читатель увидит, что они содержат много интересных теорем и проливают свет на классическую теорию размерности. [32]
Таким образом, при классификации отображений в общей топологии ограничения накладываются либо на поведение ( при переходе к образу) открытых или замкнутых множеств, либо на свойства прообразов множеств. Второй подход приводит, в частности, к следующим О. Монотонные отображения - те, при к-рых прообраз каждой точки нульмерен. Конечнократные отображения характеризуются конечностью всех прообразов точек. Отображения, при к-рых прообраз каждого бикомпактного множества бикомпактен, наз. Соединением ограничений первого и второго типа выделяются основные классы непрерывных отображений в общей топологии. Эта классификация строится как результат решения вопросов следующих двух типов. Дан класс пространств / /, целесообразность выделения к-рого но вызывает сомнений, и пусть и - нек-рый класс отображении из нашей исходной иерархии. [33]
Эта книга содержит достаточно полное и современное изложение общей топологии. Она адресована в первую очередь старшекурсникам и аспирантам, но может быть полезной для ссылок и математикам более высокого уровня. [34]
Основным требованием к читателям является практическое владение основами общей топологии и дифференциальной геометрии. [35]
С ее помощью конструируется ряд основных стандартных объектов общей топологии - в частности, тихоновские кубы / т, определяемые как топологич. По теореме Тихонова, все тихоновские кубы бикомпактны. [36]
РЭП и закреплений за ними эксплуатационных участков, общей топологии сети и потребителей. [37]
Евклидово скалярное произведение ( х, у) ( Общая топология, гл. VI, § 2, п 2) ость билинейное ( непрерывное) отображение пространства R x R в R. Аналогичный результат имеет место и для эрмитова скалярного произведения в С ( Алгебра, гл. [38]
Читатель, знакомый хотя бы с самыми первыми понятиями общей топологии, может отметить для себя, что мы на самом деле ввели в множестве всех уравнени. [39]
Энциклопедически полное и сбалансированное изложение обширного круга вопросов по общей топологии, написанное известным польским математикой. Книга может использоваться в качестве справочника и как вводное учебное пособие по общей топологии. Русское издание дополнено новым материалом. [40]
Теория непрерывных отображений топологических пространств является одним из центральных разделов общей топологии. Она находит широкое применение при исследовании вопросов эквивалентности и построения топологических пространств. [41]
Не следует, однако, ожидать, что в учебнике по общей топологии сколько-нибудь полно могут быть рассмотрены все ее вопросы, включая применения. Например, в книге не нашло отражения современное состояние дескриптивной теории множеств в общих пространствах, ибо этот материал требует отдельной книги. Не рассматривается метод обобщенных метрик, развитый в конце 50 - х и начале 60 - х гг. М. Я. Антоновским, В. Однако книга Энгелькинга обеспечивает очень хорошую основу для приложений современной общей топологии в различных частях математики. Она подходит вплотную к таким приложениям в разделах, посвященных пространствам отображений с различными топологиями, пространствам максимальных идеалов функциональных алгебр, топологическим группам и группам гомеоморфизмов, многозначным отображениям, равномерным пространствам. [42]
Излагая в одной главе сводку основных сведений из теории множеств и общей топологии, вряд ли можно сделать изложение полным; трудно даже сохранить логическую последовательность. Ярким примером отступления от идеальной схемы является отсутствие всякого традиционного рассмотрения таких основных множеств, как множество натуральных чисел, поле вещественных и поле комплексных чисел. Напротив, предполагается, что читатель вполне знаком с алгебраической и топологической структурами, которыми обычно наделяются эти множества, даже если они ему и не известны под таким названием. При этом, возможно, нарушается логический порядок, однако такое изложение соответствует той последовательности, в которой обычно преподают и изучают математику. Не будет большой ошибкой рассматривать эту главу как сводку понятий и необходимой техники, а не как логически связное изложение некоторых бурно развивающихся областей исследования. [43]
Понятие тихоновского произведения системы топологических пространств [1] является одним из основных понятий общей топологии и функционального анализа. [44]
Функция р имеет все свойства расстояния на множестве t ( Бур баки, Общая топология, гл. IX, § 2, п 1, определение 1); она определяет на множестве t структуру метрического пространства и тем самым топологию. Согласно одному предложению Бур баки ( Общая топология, гл. IX, § 3, п 2, предложение 3), эта топология определяет на аддитивной группе кольца t структуру метризуемой группы. Так определенная метризуе-мая группа полна. Действительно, в кольце t выполняется следующее условие, из которого вытекает полнота метризуемой аддитивной группы, но которое значительно сильнее: если последовательность элементов ( Ял) 1й 00 из t такова, что расстояние p ( fc, ak 1) стремится к 0 при & - юо, то последовательность ( ak) сходится. [45]