Cтраница 3
Пусть X - множество вещественных чисел, наделенное одной из следующих топологий: ( а) дискретной топологией; ( Ь) естественной топологией; ( с) топологией, определенной в 1.1.8, с лг0 0; ( d) топологией прямой Зоргенфрея; ( е) топологией, определенной в 1.2.6; ( f) топологией, определенной в 1.2.8, с лг0 0; ( g) антидискретной топологией. Для каждого вещественного числа а 0 отображение fa: Х - Х, определенное формулой fa ( x) ax, есть гомеоморфизм. При а 0 отображение fa не является непрерывным относительно топологии ( d), но является гомеоморфизмом относительно других рассмотренных здесь топологий. [31]
Ясно, что нужные свойства пространства стратегии в условиях слабой топологии достигаются при более широких условиях относительно функции выигрыша, чем в условиях естественной топологии. Поэтому рассмотрение слабой топологии приводит к более сильным утверждениям. В частности, Карлином доказывается полная определенность игры на единичном квадрате, если точки разрыва функции выигрыша заполняют всю диагональ. [32]
Возвращаясь к топологии частично упорядоченного множества, заметим, что если порядок Р не может быть описан конечным числом предложений, то определить естественную топологию на Р невозможно, потому что для этого потребовалось бы более чем конечное число предложений и невозможно было бы определить окрестности и локальные максимумы. [33]
Пусть / [0,1] - замкнутый единичный интервал и О - семейство всех множеств вида / f) U, где U с R открыто относительно естественной топологии прямой R. Все интервалы последних двух типов образуют предбазу. Пространство ( 1 0) удовлетворяет и первой, и второй аксиомам счетности. [34]
С другой стороны, пусть G - группа Ли, Я - ее замкнутая подгруппа, 9E G H - однородное пространство правых классов смежности x Hg с естественной топологией. Оно обладает единственной структурой аналитического многообразия, такой, что G действует на нем транзитивно правыми сдвигами. Именно эта структура и будет всегда рассматриваться. [35]
Интервал /, наделенный естественной топологией, является замкнутым подпространством вещественной прямой R, взятой с естественной топологией. Естественная топология любого интервала прямой является индуцированной топологией. В дальнейшем под вещественной прямой или интервалом мы всегда будем понимать эти множества, наделенные естественной топологией. Легко проверить, что любые два замкнутых интервала, содержащих более одной точки, гомеоморфны. То же самое имеет место для любых двух открытых и для любых двух полуоткрытых интервалов. [36]
AJ имеет конечный тип и порождает алгебру А, и пусть Рго ] ( Л) - множество однородных простых идеалов / сМ, не содержащих Аг. Снабженное естественной топологией и структурным пучком множество Proj ( A) является проективной У-схемой; более того, любая проективная У-схема имеет такой вид. [37]
Пусть Е и F - два банаховых пространства, естественно вложенных в некоторое общее локально выпуклое пространство V. F ] имеет естественную топологию банахова пространства. [38]
Wh непрерывны относительно топологии поточечной сходимости в функциональных пространствах. Это показывает, что соотношение между естественной топологией на R и топологией равномерной сходимости на Rx не вполне удовлетворительно. [39]
Следующий шаг в развитии некоммутативного случая этой проблемы был сделан У. Он классифицировал полулинейные, непрерывные в некоторой естественной топологии, отображения конечномерных простых ассоциативных и лиевских алгебр над полями, сохраняющих нулевые произведения см. [35], исследовал полулинейные отображения, сохраняющие матрицы и тензорные произведения ранга 1 над локальными или примарными алгебрами и унитарными кольцами Ли, классифицировал отображения, сохраняющие локальную длину 1 или вырожденность над полупростыми алгебрами, являющимися алгебрами над коммутативными кольцами, конечномерными как модули над этими кольцами. [40]
Из определения р легко следует, что это действительно метрика. Мы должны проверить, что метрика р индуцирует на 5 естественную топологию. [41]
Примем следующие удобные для дальнейших рассуждений обозначения. С - пространство входных данных задачи Коши (1.2), снабженное естественной топологией произведения. [42]
Для этого достаточно показать, что каждая непрерывная функция /: Х - - 1 непрерывно продолжается на X. Так как единственная равномерность У на отрезке /, индуцирующая его естественную топологию, полна, то по теореме 8.3.10 достаточно показать, что / - равномерно непрерывное отображение пространства ( X, &) в ( /, У ( ср. [43]
Обозначим через Р ( п, С) топологическое пространство ( с естественной топологией) полиномов степени п над полем С со старшим коэффициентом 1 и без кратных корней. [44]
Здесь уместно отметить, что одна из фундаментальных идей теории гауссовских мер состоит в том, что всевозможные центрированные радоновские гауссовские меры представляют собой различные реализации одной и той же гауссовской меры - счетного произведения стандартных нормальных распределений на прямой. Эта мера 7 определена на пространстве К00 всех вещественных последовательностей с его естественной топологией. Конечно, существуют проблемы, в которых редукция к IR00 бесполезна. Например, так обстоит дело во многих задачах, связанных со свойствами выборочных траекторий гауссовских процессов. Упомянутая выше единственная гаус-совская мера часто встречается также в облике меры Винера на пространстве непрерывных траекторий; при этом возникают очень интересные объекты, не имеющие естественных аналогов в других изоморфных представлениях. [45]