Cтраница 4
Примем следующие удобные для дальнейших рассуждений обозначения. Положим 931 17 ( 0) х / С - пространство входных данных задачи Коши (1.2), снабженное естественной топологией произведения. [46]
Рассмотрим конфигурационное пространство С ( п, R2) механической системы, состоящей из п неразличимых попарно не совпадающих точек на плоскости. Пространство C ( n, R2) состоит иэ неупорядоченных наборов из п попарно различных точек Ж2; оно снабжено естественной топологией. Легко убедиться, что петли в пространстве С ( п, Ra) с началом и концом в точке ш находятся во юаимно однозначном соответствии с косами из п нитей. Элемент Z ( ( Q) представляет собой плоскость с выделенными п точками. Сделав так для всех о [0, 1], получим косу из п нитей. [47]
Так как группа S содержит все вращения, то можно добиться, чтобы форма F была инвариантна относительно вращений в смысле, что F ( gr) F ( g) для всех g e C ( Rn) и всех вращений г. Для этого рассмотрим множество G всех вращений как компактную группу. Ее топология может быть определена, например, так: представим каждое вращение матрицей относительно некоторого фиксированного базиса в Rn и возьмем естественную топологию, в которой сходимость означает сходимость каждого элемента матрицы. [48]
Последняя из операций, обсуждаемых в настоящей главе - операция образования пространств отображений. Каждой паре А, У топологических пространств отвечает множество Yx всех непрерывных отображений из X в У; мы постараемся ввести на нем естественную топологию. Оказывается, в отличие от рассмотренных выше операций, множество Yx имеет несколько довольно естественных топологий. [49]
К сожалению, естественная топология в ряде случаев оказывается слишком грубой. Например, если в игре на единичном квадрате функция выигрыша разрывна в каждой точке диагонали квадрата ( в остальных точках она может быть и непрерывной), то расстояние между любыми двумя точками больше некоторого фиксированного положительного числа, так что пространства стратегий игроков в естественной топологии сплошь состоят из изолированных точек. [50]