Инвариантная тора
Cтраница 3
Если невозмущенная гамильтоновская система невырождена, то при достаточно малом консервативном возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. [31]
Если же число частот больше двух, то торы не делят многообразие уровня функции Гамильтона, и некоторые фазовые кривые ( образующие множество малой меры) могут, блуждая вблизи резонансных поверхностей между инвариантными торами, уходить далеко от исходных значений переменных действия. [32]
Для перевода полученных результатов на язык бифуркаций периодических решений нужно найденные неподвижные точки на плоскости заменить замкнутыми траекториями в пространстве, сепаратрисы точек - инвариантными притягивающими и отталкивающими поверхностями этих замкнутых траекторий, предельные циклы на плоскости - инвариантными торами. [33]
Теорема 4.1 ( Колмогорова) Если det dw / dl 0 ( невозмущенная систел невырождена), то при достаточно малом консервативном гамильтоново возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезс ет, а лишь немного деформируется так, что в фазовом пространств возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненны всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их усяовно-периодич 1 ски с числом частот, равным числу степеней свободы. [34]
ДАН СССР, 98 4 ( 1954), 527 - 530) при малом гамильтоно-вом возмущении большая часть инвариантных торов / - const лишь немного деформируется, не исчезая: фазовые кривые для большинства начальных условий в возмущенной системе, как и в невозмущенной, заполняют всюду плотно инвариантные торы. [35]
 |
Различные сепаратрисные эетви одной ячейки паутины. [36] |
Замкнутые траектории, описываемые гамильтонианом (5.41) или (5.46), являются сечениями инвариантных торов, если дополнить фазовое пространство ( /, в) переменной время обычным способом, учитывая периодическое по времени возмущение V. Инвариантные торы внутри паутины будем называть П - торами. [37]
Поток гамильтониана Н на таком торе либо периодический, либо условно-периодический. Инвариантные торы часто встречаются в механических интегрируемых системах, поскольку для компактности Mf достаточно, чтобы были компактными многообразия уровня энергии Н const. [38]
Если невозмущенная гамильтоновская система невырождена, то при достаточно малом консервативном возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением. [39]
Так как функция § - первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера - Пуансо невырождена ( теорема 3 гл. III) и функция S Q непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [40]
Так как R ( z) - многочлен четвертой степени, то при фиксированных постоянных первых интегралов уравнение R ( z) 0 может иметь не более четырех корней. Поэтому на инвариантных торах существует конечное число точек, в которых si 82 - Но в областях 3, 5 и 7 таких точек бесконечно много. [41]
В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела - квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [42]
Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно § 9, при малых s 0 инвариантные торы Т являются гиперболическими. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности невозмущенной системы. Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [43]
Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условно-периодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости. [44]
Задача имеет своим источником теорему Эрмана [1-2], согласно которой инвариантный тор гамильтоновой системы ( или симплектомор-физма), движение на котором квазипериодично, автоматически изотропен, если только симплектическая структура точна. В частности, в случае точной симплектической структуры все инвариантные торы теории КАМ изотропны и, следовательно, их размерность не превышает числа степеней свободы. [45]
Страницы: 1 2 3 4