Инвариантная тора

Cтраница 4

Мозера в так называемой КАМ-теории ( Колмогорова, Арнольда. Мозера), позволивших ему перенести результаты Колмогорова 1954 года об инвариантных торах аналитических гамильтоновых систем на всего лишь триста тридцать три раза дифференцируемые системы. Так обстояло дело в 1962 году, при изобретении Мозером его замечательной комбинации сглаживания Нэша с методом ускоренной сходимости Колмогорова. [46]

В случае п 2 множество Л / ь ( х у): Н ( х у) - h трехмерно i делит 4-мерное фазовое пространство. Поэтому если в начальный момен t to фазовая точка Р находится между двумя инвариантными торами, тс при всех t 0 она останется между этими торами. Итак, при п 2 вопро об устойчивости движения решается положительно. [47]

Предположим, что сумма (10.6) отлична от нуля и все критические точки функции h невырождены. Тогда, согласно теореме 1, половина критических точек функции h отвечает ( п - 1) - мерным инвариантным торам невозмущенной задачи, которые при малых значениях параметра е 0 переходят в гиперболические торы Т 1 возмущенных уравнений Гамильтона. Вопрос о судьбе остальных торов остается пока открытым. [48]

При п 1 фазовое пространство является четырехмерным, энергетическая гиперповерхность ( или пространство уровня энергии) Н Е - трехмерной, а инвариантные торы - двумерными. Фазовая траектория, начавшаяся в области такого разрушенного тора, т.е. в щели между двумя инвариантными торами, остается запертой здесь навсегда. Соответствующие переменные действия практически не меняются и при движении остаются вблизи своих начальных значений. [49]

Если х2 у2 0, z О, то k нечетно, если х2 у2 О, z О, то k четно, если, наконец, z 0 и ж2 у2 0, то k - любое целое число. III вытекает, что для любого несимметричного тела существует N ( A, В, С), такое, что при fc TV инвариантные торы (3.3) принадлежат вековому множеству и, следовательно, на этих торах рождаются пары изолированных периодических решений. [50]

Поэтому даже и для тех фазовых кривых, которые не лежат на торах, переменные действия мало меняются в течение бесконечного интервала времени: фазовая кривая, начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами, не может из нее выйти. [51]

Фазовый портрет векторного поля на плоскости с нильпотентной линейной частью и нелинейностью общего положения. [52]

Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [53]

Страницы: 1 2 3 4