Cтраница 3
Итак, мы доказали, что каждое компактное крайнее подмножество S множества К содержит крайнюю точку множества / С. [31]
Обратно, пусть Ф - крайняя точка множества Х0, Тогда Ф является также крайней точкой множества X. Так как 7 - мультипликативный функционал на А, то Т есть крайняя точка множества всех линейных положительных нормированных функционалов на Л0, поэтому Ф5 Ф2 Г на А0, откуда получаем, что Ф ( Ф с Хв, Но Ф - крайняя точка множества Х, поэтому Ф1 Фг Ф на Л, т.е. Ф есть крайняя точка множества X. Отсюда следует, что Ф - мультипликативный функционал на А. [32]
Теперь Bz By - - t Ъ - целочисленный вектор и z содержит ненулевые компоненты крайней точки множества X ( А, Ь); следовательно, z - целочисленный вектор. [33]
Только что доказанная теорема представляет собой элементарный вариант значительно более тонких результатов, в которых нормированные меры рассматриваются на подмножестве крайних точек множества В. Эти результаты, полученные главным образом Шоке, играют значительную роль в теории потенциала. [34]
ТЕОРЕМЭ 1.6. Если / ( х) - вогнутая функция, определенная на выпуклом многограннике 1) X, то существует крайняя точка множества X, в которой функция / ( х) достигает глобального минимума. [35]
Легко проверить, что одноточечное множество [ XQ ] является крайним подмножеством в А тогда и только тогда, когда XQ - крайняя точка множества А. [36]
Но это противоречит тому, что все точки С [ Е ( Х) ] ( и таким образом, и все крайние точки множества X) удовлетворяют условию ( 3), так как а сс. [37]
Пусть Е - отделимое вещественное локально выпуклое пространство, квазиполное в топологии ъ ( Е Е) А - непустое компактное выпуклое подмножество в Е е ( А) - множество крайних точек множества А. [38]
Известно, что n - мерная выпуклая оболочка какого-либо множества X в К ограничена ( п - 1) - мерной поверхностью, состоящей из ( п - 1) - мерных полиэдров с вершинами в крайних точках множества X. [39]
Другим примером является задача, возникающая вследствие применения принципа декомпозиции, где столбцы PJJ имеют вид А, где А - i-я подматрица матрицы, составленной из коэффициентов общих связывающих ограничений, a xi - / - я крайняя точка множества, определяемого / - м диагональным блоком. Таким образом, столбцы рц также определяются соответствующей системой линейных уравнений п неравенств. При общем рассмотрении будем предполагать, что все столбцы ps выбираются из множества 5, являющегося множеством всех возможных m - мерных векторов, удовлетворяющих некоторой системе равенств или неравенств. [40]
Множество I инвариантных относительно т состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке ( см. приложение А. Крайние точки множества I называются эргодическими состояниями, и так как I - метризуемый симплекс, каждое состояние a G I допускает единственное разложение на эргодические состояния, называемое эргодическим разложением ( см. приложение А. [41]
Частный случай бистохастической матрицы - это переставляющая матрица, которая была введена в § 1 гл. Оказывается, переставляющие матрицы - это крайние точки множества бистохастических матриц. [42]
Конечно, S содержится в совокупности крайних точек множества С я cl S а С. Предположим, что крайняя точка к не принадлежит cl S. [43]
Если из а 6 следует а 6, то множество К Е П является симплексом. В частности, если р, р - различные крайние точки множества Е П, то / о - / о 2, т.е. меры р и р сингулярны. [44]
Если Fx h A, то х принадлежит выпуклой оболочке крайних точек множества F х и тем более принадлежит выпуклой оболочке крайних точек множества А. [45]