Cтраница 4
В раЗоте [16] на основе правила азеотропии для химически равновесных систем [ I ] о учетом ряда физико-химических огра-ничений получена система диофацтовых уравнений, описывающая распределение особых точек на диаграммах состояния. Решение этой системы позволило авторам выявить все топологически различные типы диаграмм и провести их классификацию по минимальному числу структурных признаков, Рассматривались возможные типы диаграмм состояния, отличающиеся определенным числом, типом и расположение особых точек системы. [46]
Изучается поведение малых возмущений стационарных решений произвольной системы уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t в окрестности критической точки, где обращается в нуль одна из характеристических скоростей. Все характеристики системы предполагаются действительными и различными, кроме t const, которые могут быть кратными для параболически вырожденной системы. Критические точки совпадают с особыми точками системы уравнений, описывающей стационарные решения. Исследованы их возможные типы. Показано, что нестационарные процессы в окрестности критических точек описываются одним уравнением в частных производных первого порядка, коэффициенты которого определяются собственными числами особой точки стационарных уравнений. Нестационарные процессы исследованы с учетом нелинейных членов. [47]
Если имеются интегральные законы сохранения, то соотношения, выражающие эти законы, не зависят от процессов, происходящих внутри волны. Вид остальных соотношений в общем случае зависит от этих процессов. Доказательство теоремы основано на исследовании характера особых точек системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих структуру волны, и нахождении размерности многообразий точек, представляющих состояние среды перед волной и за ней. Утверждение о числе граничных условий, обеспечивающих существование структуры разрыва, справедливо и в тех случаях, когда свойства среды меняются при прохождении по ней волны, и по разные стороны поверхности разрыва среда описывается различными системами уравнений. [48]
Хорошо известно следующее применение этих теорем. Предположим, что некоторая кольцеобразная область К. Хр Х2) может быть построена так, что: ( а) ни сама К, ни ее граница ДГ не содержат особых точек системы (9.2.1); ( Ь) решения, проходящие через точки границы / С, входят в К. [49]
Наиболее существенной чертой случаев второго типа является наличие на ректификационной диаграмме разделяющих поверхностей между областями ректификации с различными первыми фракциями. Для тех систем, в которых подобные разделяющие поверхности оказываются плоскими, анализ процессов ректификации практически не имеет особенностей, по сравнению со случаями первого типа, рассмотренными выше. Напротив, при искривленности разделяющих поверхностей, как и в тройных системах, протекание ректификации усложняется и зависит от характера кривизны и относительного расположения особых точек системы. [50]
Решение вопросов о существовании и амплитуде автоколебаний требует применения методов нелинейной механики. Важнейший вопрос об областях существования автоколебаний решается методами качественной теории дифференциальных уравнений. Значительно более простые вопросы о существовании малых колебаний и их затухании или раскачке сводятся к анализу устойчивости состояний равновесия. В терминах теории дифференциальных уравнений состояния равновесия могут быть представлены как особые точки системы дифференциальных уравнений. Классификация особых точек, развитая в классических работах Пуанкаре, является математической основой линейной теории колебаний. [51]