Cтраница 3
Теорема Сохоцкого показывает, что если za - существенно особая точка голоморфной функции /, то множество, составленное из предельных точек последовательностей f ( zn) ni, где zn ni - любая сходящаяся к г последовательность в Сг, заполняет всю плоскость С. Этим оправдывается классификация изолированных особых точек голоморф-ныхх функций, проведенная на основе учета ненулевых членов в той части ряда Лорана, которая названа главной. В свою очередь название главная часть ряда Лорана отражает тот факт, что именно она в отличие от правильной части определяет поведение голоморфной функции в окрестности изолированной особой точки. [31]
Поскольку последовательность хп не является ограниченной снизу, из нее можно выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой отрицательны, а это означает, что - со является предельной точкой рассматриваемой последовательности. [32]
Для дальнейшего ( задачи 235 - 241) нам понадобятся понятия предельной точки и предельного множества последовательности точек метрического пространства. Предельной точкой последовательности ( ап) называется точка, являющаяся пределом какой-либо ее сходящейся подпоследовательности. Множество всех предельных точек последовательности называется предельным множеством этой последовательности. [33]
Пусть пространство X конечномерно, а функционал Ф непрерывно дифференцируем. Тогда предельные точки последовательности хп стационарны. [34]
N принадлежат множеству Ф - решений, составляет содержание предыдущей теоремы. Принадлежность предельных точек последовательности г е классу регулярных функциональных решений обусловлена замечанием 9.3 к теореме 9.1. Теорема доказана. [35]
То, что предельные точки последовательности г йем принадлежат множеству Ф - решений, составляет содержание предыдущей теоремы. Принадлежность предельных точек последовательности г / классу регулярных функциональных решений обусловлена замечанием 9.3 к теореме 9.1. Теорема доказана. [36]
При предположениях теоремы 5.2 нельзя утверждать, что последовательность sk обязана быть сходящейся к нулю. Более того, множество предельных точек последовательности js J может совпасть со всей прямой. В качестве примера можно взять метод Т ( С, 1) и последовательность sk построить так, чтобы она была для большинства индексов k равна нулю и на очень редких местах принимала каждое рациональное значение с бесконечным повторением. [37]
Но в таком случае последовательность cpv не может иметь предельных точек. Действительно, пусть ср - предельная точка последовательности cpv и V - нормальная окрестность нуля пространства Ф такая, что V - - VcU. В окрестности ср - - 1 / точки ср заведомо имеются точки последовательности cpv с произвольно большими номерами. [38]
Следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда последовательность zz - бесконечна. Итак, пусть z - предельная точка последовательности Z H пусть эта точка нежелательная. [39]
Пусть 7 - элементарный, ассоциированный с последовательностью ( х) фильтр. Легко понять, что каждая точка прикосновения фильтра iJ есть предельная точка последовательности ( х), и наоборот. S в пространстве ( X, т), то каждая точка прикосновения фильтра оТ является предельной точкой этой направленности, и наоборот. [40]
Легко показать, что второе предположение невозможно. Очевидно, что полукривая движения в направлении убывающем) времени, начинающаяся в какой-нибудь предельной точке Q последовательности точек Q для Нше 0, лежит целиком в F. [41]
Преобразования группы автоморфизмов конформного отображения области D на полуплоскость являются отображениями этой полуплоскости на себя. Поэтому все точки wm Am ( w0) должны лежать в полуплоскости ReTW0, а предельные точки последовательности wm по теореме 3.2 должны лежать на действительной оси. [42]
Так как множество S является () - слабо ( секвенциально компактным, то для доказательства леммы достаточно проверить, что рассматриваемая последовательность фл сг5 не может иметь более одной () - слабой предельной точки. Из ( 49) и ( 50) следует, что каждая () - слабая предельная точка последовательности ф является для нее также т-предель-ной. А так как эта последовательность сходится в себе по т-норме, то она не может иметь более одной т - предельной точки, и лемма доказана. [43]
Преобразования группы автоморфизмов конформного отображения области D на полуплоскость являются отображениями этой полуплоскости на себя. Поэтому все точки wm Am ( w0) должны лежать в полуплоскости Re w 0, а предельные точки последовательности wm по теореме 3.2 должны лежать на действительной оси. [44]
По теореме Вейля - фон Неймана (14.13) А D С0, где О - диагональный эрмитов оператор и С0 - оператор Гильберта - Шмидта. Так как 0 имеется в существенном спектре А, то 0 будет и в существенном спектре D, так что 0 будет предельной точкой последовательности собственных значений D. Найдем квадратично суммируемую бесконечную подпоследовательность таких собственных значений и пусть Ci - оператор, полученный из D заменой нсех собственных значений не из этой подпоследовательности нулем. Если С С0 С, то С - оператор Гильберта - Шмидта и оператор / 1 - С имеет большой 0 в качестве слагаемого в прямой сумме. [45]