Cтраница 4
Для дальнейшего ( задачи 235 - 241) нам понадобятся понятия предельной точки и предельного множества последовательности точек метрического пространства. Предельной точкой последовательности ( ап) называется точка, являющаяся пределом какой-либо ее сходящейся подпоследовательности. Множество всех предельных точек последовательности называется предельным множеством этой последовательности. [46]
Тогда резольвента R ( u A) компактна и самосопряжена. Нулевая точка не может быть собственным значением. Следовательно, единственной предельной точкой последовательности fa может быть лишь - оо. Пространство собственных функций, соответствующее ненулевому собственному значению компактного оператора, должно быть конечномерным. Так как все ft отличны от нуля, то множество соответствующих собственных функций ф не более чем счетно. Таким образом, пространство Н имеет счетный базис ( фй), и потому сепарабельно. [47]
Из каждого подразделения выберем один симплекс, несущий все пометки, и в этом симплексе выберем единственную точку. Эта точка, очевидно, является предельной точкой последовательностей всех вершин всех симплексов, из которых только что выбраны точки сходящейся подпоследовательности. Так как в соответствии с нашим правилом помечивания для одной из этих вершин выполняется qj Cpj для каждого / и так как такие неравенства, очевидно, сохраняются в пределе, то справедливо, что не существует барицентрической координаты образа предельной точки выбранной подпоследовательности, превышающей барицентрическую координату самой предельной точки. Следовательно, поскольку барицентрические координаты должны быть в сумме равны I, то барицентрические координаты образа предельной точки должны быть в точности такие же, как барицентрические координаты самой предельной точки, и так как координаты в ( я 1) - мерном пространстве совпадают, то должны совпадать сами точки. [48]