Cтраница 3
Однако, плоскость у ( ( х, у, 2) - пространства не содержит, за исключением начала целых траекторий. Все условия следствия 1.5 выполняются; н; чало глобально асимптотически устойчиво. [31]
Из определения инвариантного множества следует, что иинариантное множество состоит из целых траекторий и, обратно, множество, состоящее из целых траектории, иниприиитно. [32]
Это выражение но обращается в нуль ( точка х 0, как обычно, исключается), поэтому многообразие F х - х 0 не содержит целых траекторий. Теперь видно, что выполнены все условия теоремы Красовского об асимптотической устойчивости. Действительно: 1) функция V определенно-положительна; 2) производная V на К равна нулю, а вне К она отрицательна; 3) многообразие К не содержит целых траекторий. [33]
В настоящем параграфе мы будем рассматривать отдельные полу-траектории или целые траектории такой системы, лежащие в некоторой ограниченной замкнутой области Gln Gr: j7 Такие полутрнгктории или целые траектории мы будем называть ограниченными. [34]
Для произвольной полутраектории / ( рх, 0 О, которая оставалась в е-окрестно-сти множества М в силу предположения компактности этой окрестности, необходимо существует по крайней мере одна целая траектория, принадлежащая - предельному множеству полутраектории и содержащаяся полностью в ранее упомянутой окрестности. [35]
Доказанное утверждение будем считать видоизменением теоремы 7: необходимое и достаточное условие устойчивости по Ляпунову для замкнутого инвариантного множества М, имеющего достаточно малую компактную окрестность, не содержащую целых траекторий, состоит в том, что не су. [36]
Если движущаяся точка M ( x ( i)) траектории x ( t) попадет на К, то вскоре она должна покинуть это многообразие ( оно не содержит целых траекторий) и снова начинается удаление точки М от начала координат. Чтобы указать условия, при выполнении которых многообразие К не содержит целых траекторий уравнения (7.4), выполним следующий анализ. [37]
Если движущаяся точка M ( x ( t)) траектории x ( t) попадет на К, то вскоре она должна покинуть это многообразие ( оно не содержит целых траекторий) и снова начинается удаление точки М от начала координат. [38]
Если решения х ( I), х - ( /) и лг ( г) рассматриваются в пространстве R, то их будем называть соответственно положительной полутраекторией, отрицательной полутраекторией, целой траекторией. [39]
Множество К всех предельных тачек полутриектории L ( али, что то же самое, множество всех ы-пре Иелышх тичек траектории D - 1 а) замгмуто б) связно, в) состоит из целых траекторий. [40]
Следовательно, скалярное произведение ( [ /, grad Ф) не тождественно равно нулю: ( [ /, grad Ф) - х Зу2 ху2 у4 0, а многообразие К не содержит целых траекторий системы (7.23) и выполняются все условия теоремы Красовского. Поэтому тривиальное решение системы (7.23) асимптотически устойчиво. [41]
Следовательно, скалярное произведение ( [ /, grad Ф) не тождественно равно нулю: ( С /, grad Ф) - х Зу2 ху2 у4 0, а многообразие К не содержит целых траекторий системы (5.26) и выполняются все условия теоремы Красовского. Поэтому тривиальное решение системы (5.26) асимптотически устойчиво. [42]
Это эквивалентно отсутствию движения / ( р О Р ( Р Щ - fci имеющего а-предельные точки в М при добавочном условии, что множество М обладает достаточно малой компактной окрестностью, которая не содержит целых траекторий динамической системы. [43]
Положение равновесия х 0 автономной системы (4.12) асимптотически устойчиво, если существует такая положительно определенная функция V ( x), что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицательно полуопределенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М С D, не содержащим целых траекторий. [44]
Положение равновесия х 0 автономной системы (4.12) асимптотически устойчиво в целом ( глобально асимптотически устойчиво), если существует такая положительно определенная функция V ( x), допускающая бесконечно большой нижний предел, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы является отрицательно полу определенной функцией, и она обращается в пуль вне начала координат на множестве М, не содержащем целых траекторий. [45]