Cтраница 3
Если эйлерова характеристика х ( М) 0, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия ZQ. Существуют также хаотические траектории на Eg, и топологическая энтропия системы на EQ положительна. [31]
Этот минимум соответствует периодической траектории энергии / г, близкой к цепочке 7V гомоклинических траекторий. В пределе 7V - ос получаются хаотические траектории, соответствующие заданной траектории jk kez топологической цепи Маркова. [32]
Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой транс-версально пересекаются множества Su и S, то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве % Г ( М) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса-Смейла. [33]
Рис 5.19 Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории. [34]
Этот факт вытекает из доказанной выше плотности трансверсальных гомоклинических траекторий и теоремы Биркгофа, утверждающей, что гомоклинические траектории аппроксимируются периодическими. [35]
Существует единственная гиперболическая точка U U О с единой сепаратрисой при Я0 0, где начинаются и оканчиваются две гомоклинические траектории. Сепаратрисы могут пересекаться в бесконечном числе точек, и это явление, впервые обнаруженное Пуанкаре, приводит к возникновению областей с хаотическим поведением траекторий. [36]
В классе векторных полей, имеющих особую точку с парой чисто мнимых собственных значений, поля общего положения не имеют гомоклинической траектории особой точки. [37]
Один из теоретических методов, который привел к созданию частных критериев хаотических колебаний, основан на поиске отображений типа подковы и гомоклинических траекторий в математических моделях динамических систем. Такая стратегия и математическая процедура, известная под названием метода Мельникова, привели к критериям хаоса типа числа Рейнольдса, связывающим параметры системы. В двух случаях эти критерии были проверены с помощью численных и физических экспериментов. Действуя в духе этой книги, мы не будем выводить формулы или чрезмерно вдаваться в математическую теорию метода, а вместо этого попытаемся изложить наиболее важные идеи и отошлем тех читателей, кого заинтересуют более тонкие детали, к литературе. Метод Мельникова мы продемонстриуем на двух приложениях: на колебаниях продольно изонутой балки и вращательной динамике магнитного дипольного двигателя. [38]
Дать возможно полное описание бифуркаций векторных полей, имеющих критический цикл, узловой по гиперболическим переменным с мультипликатором 1 и компактным множеством гомоклинических траекторий. Для одномерного аналога этой задачи некоторые результаты имеются в [180], где используется язык нидинг-последовательностей и множеств вращения. [39]
Пусть в однопараметрическом семействе общего положения встретилось векторное поле с негиперболическим циклом, имеющим мультипликатор 1, объединение которого со всеми его гомоклиническими траекториями компактно. Тогда это объединение состоит из конечного числа ( скажем, р) непрерывных двумерных многообразий, каждое из которых гомеоморфно тору или бутылке Клейна. [40]
Исследовать бифуркации векторных полей, имеющих критический цикл с мультипликатором 1, седловой по гиперболическим переменным, хотя бы в случае компактного множества гомоклинических траекторий. [41]
В этом параграфе описаны бифуркации при переходе через гиперповерхность в функциональном пространстве, состоящую из векторных полей с гиперболической особой точкой, имеющей гомоклиническую траекторию. Исследуется окрестность точек общего положения на этой гиперповерхности как принадлежащих, так и не принадлежащих границе множества систем Морса - Смейла. [42]
Все поля семейства, соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля, имеют по два грубых предельных цикла и не имеют других неблуждающих траекторий и некоторой окрестности объединения множества гомоклинических траекторий цикла L с самим циклом. [43]
Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование полуклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса. [44]
Предположим для простоты, что преобразование монодромии цикла L ( как функция от начальных условий и параметра) может быть продолжено в окрестность пересечения плоскости, транс-версальной к полю, и объединения гомоклинических траекторий цикла. Сильно устойчивое слоение, соответствующее полю г 0, высекает на трангвеэсали сильно устойчивое слоение FQS диффеоморфизма / 0; кризая SQ касается некоторых слоев этого слоения. [45]