Cтраница 4
Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле v0 с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение 0 и одну гомоклиническую траекторию. [46]
Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому ( критическому) значению параметра соответствует векторное поле v0 с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение 0, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки О. Тогда все некритические поля семейства, достаточно близкие к критическому, либо имеют две особые точки, близкие к О ( когда параметр лежит по одну сторону от нуля), либо имеют устойчивый ( или вполне неустойчивый) предельный цикл, когда параметр лежит по другую сторону от нуля. Этот цикл стремится к ГЦО при стремлении параметра к нулю. [47]
Дуга фе устойчива тогда и только тогда, когда: а) ре - левоустойчива, b) v ( рь) не имеет цикла с парой невещественных мультипликаторов, с) если и ( рь) имеет цикл с мультипликатором 1, то этот цикл некритический, не входит в состав контура и не имеет гомоклинических траекторий. [48]
Тогда гладкая динамическая система на М, обладающая следующими свойствами: 1) квазиобщая; 2) не имеющая сепг-ратрис седел, содержащих в множестве своих предельных точек петли сепаратрис других седел ( или того же самого седла); 3) не имеющая сепаратрисы седла, содержащей в множестве своих а-предельных ( со-предельных) точек негиперболический цикл, который содержался бы также в множестве со-предельных ( а-предельных) точек некоторой сепаратрисы другого или того же самого седла и, в частности, не имеющая контуров; 4) не имеющая гомоклинических траекторий негиперболического цикла - является системой 1 - й степени негрубости. [49]
На поле v0 налагается следующее нелокальное требование: T ( ] Ws-0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в-край устойчивого множества. Локальное семейство трансвер-сально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [50]
В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при ЕЕ - нетривиальное гиперболическое множество, во втором - гетероклиническая траектория, и при ее аттрактор уже не является тором. [51]
Для седловых положений равновесия теорема 2 неверна. Эта система имеет 4 трансверсальные минимальные гомоклинические траектории к верхнему положению равновесия. [52]
Предельный цикл векторного поля с мультипликатором единица называется s - критическим, если либо существует гиперболическое положение равновесия или гиперболический цикл, чье устойчивое или неустойчивое многообразие касается одного из слоев F на Ss, либо неустойчивое множество цикла касается одного из этих слоев. В последнем случае объединение гомоклинических траекторий цикла называется s - критическим. [53]
Поскольку функционал 0 полунепрерывен снизу на компактном множестве, он достигает минимума. Остается показать, что точка минимума соответствует гомоклинической траектории, близкой к цепочке минимальных гомоклинических траекторий. [54]
В окрестности диффеоморфизма двумерной поверхности, имеющего гомоклиническую траекторию простого касания, существуют диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий. [55]
В одно-параметрических семействах общего положения встречаются векторные поля с гомоклинической траекторией гиперболического седла, не устранимые малым шевелением семейства. [56]