Интегральная траектория

Cтраница 3

Определение 3, Пусть система дифференциальных уравнений отвечает полю v на Мп. Интегралом системы называется гладкая функция / на Мп, постоянная вдоль всех интегральных траекторий потока. [31]

Гамильтоновы поля допускают важное описание на языке од-нопараметрической группы диффеоморфизмов, порожденной этим полем. Пусть X sgrad Я - гамильтоново поле; & t - соответствующая группа сдвигов вдоль интегральных траекторий этого поля. [32]

Такой интегральной траектории быть не может. [33]

Пусть задана система дифференциальных уравнений, отвечающих полю v ( P) на Мп. Интегралом системы называется гладкая функция f ( P) на Мп, постоянная вдоль всех интегральных траекторий потока. [34]

Гамильтоновы поля допускают важное описание на языке од-нопараметрической группы диффеоморфизмов, порожденной этим полем. Пусть X sgrad Н - гамильтоново поле и & t - соответствующая группа сдвигов вдоль его интегральных траекторий. [35]

Как описать все гамильтоновы потоки на этом симплектическом многообразии. Напомним, что поле X на М имеет нулевую дивергенцию, если площадь произвольной области А не меняется при сдвигах вдоль интегральных траекторий поля. [36]

Неоднозначность определяется неоднозначностью значений вектора управлений U, Предполагаем, чк множество N ( X) возможных значений U задается системой неравенств. Концы интегральных траекторий в момент t образуют множество A ( Y, t), которое будем называть областью достижимых значений. Интегральные траектории, оканчивающиеся на границе ( /), называются оптимальными траекториями, а соответствующие управления-оптимальными управлениями. [37]

Пусть в некоторой области на плоскости задано векторное поле. Зафиксируем в этой области некоторое компактное множество К, не содержащее особых точек векторного поля. Если в К существует точка такая, что интегральная траектория векторного поля, выходящая из этой точки, не покидает К, то в К обязательно существует периодическая траектория векторного поля. [38]

Теперь легко предъявить примеры гамильтоновых потоков. Как описать все гамильтоновы потоки на этом симплектическом многообразии. Напомним, что поле X на Мд имеет нулевую дивергенцию, если площадь произвольной области А не меняется при сдвигах вдоль интегральных траекторий поля. [39]

Из леммы 3 следует, что изменение массы равно нулю тогда и только тогда, когда поток несжимаем. Рассмотрим аналог формулы, полученной в лемме 3 для областей конечного размера. Пусть D - ограниченная область с кусочно гладкой границей, D ( t) - область, полученная из D путем ее сдвига вдоль интегральных траекторий v за время t с помощью однопараметрической группы. [40]

Таким образом; мы ввели в рассмотрение новый широкий класс некоммутативно интегрируемых гамильтоновых систем. Пока неясно, совпадает ли он с классом классических вполне интегрируемых по Лиувиллю систем. Кроме того, пересечение класса некоммутативно интегрируемых систем с классом систем, интегрируемых по Лиувиллю, состоит из интересных систем с вырождениями. Интегральные траектории таких систем на торах Лиувилля никогда не определяют иррациональную обмотку этих торов. Траектории укладываются на маломерные торы, регулярно расслаивающие большие торы Лиувилля. Таким образом, установление факта некоммутативной интегрируемости системы дает нам существенно больше информации о поведении ее интегральных траекторий по сравнению с тем, что сообщает нам обычная интегрируемость по Лиувиллю. [41]

Часто о векторном поле v на Мп говорят как о потоке жидкости, текущей по многообразию. При этом считается, что в каждой частице жидкости помещен вектор, указывающий скорость этой частицы. Особые точки поля - особые точки потока жидкости; например, особая точка на рис. 61 - источник ( жидкость вытекает из точки О), а особая точка на рис. 62 - сток. Интегральные траектории поля v иногда называются линиями тока жидкости, движение которой описывается этим полем скоростей. [42]

Часто о векторном поле v говорят как о потоке жидкости, текущей по многообразию. Считается, что в каждой частице жидкости помещен вектор, указывающий ее скорость. Например, особая точка на рис. 4.36 - это источник: жидкость вытекает из точки О, а особая точка на рис. 4.37 - это сток. Интегральные траектории поля иногда называют линиями тока жидкости. Потоки, зависящие от времени, называются нестационарными. [43]

Я и f, являются объединениями торов. Оказывается, можно полностью описать структуру особых поверхностей постоянной энергии. Они оказываются гомеоморфными двумерным клеточным комплексам, получающимся специальной ( легко описываемой) склейкой двух двумерных торов. Это описание позволяет в частности, полностью описать поведение интегральных траекторий системы на особых поверхностях уровня интегралов. [44]

Возможны два случая: а) она замкнута, б) она незамкнута. В случае а) окружность т, целиком лежащая на торе Т г - близка к замкнутой траектории S1, если е достаточно мало. Так как система v интегрируема, то к тору Т л применимы утверждения теоремы Лиувилля. Следовательно, на каждом из торов 7 е и Т2 г существуют регулярные криволинейные координаты, относительно которых ограничение поля v иа торе определяет условно периодическое движение. Поскольку у поля v на Т е обнаружилась замкнутая интегральная траектория т, то все остальные траектории этого поля на Ti e также замкнуты. С), поскольку она порождена прямолинейной обмоткой тора. [45]

Страницы: 1 2 3 4