Незамкнутая траектория
Cтраница 3
Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [31]
Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые никлы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [32]
Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [33]
Само собою разумеется, что под периодическим движением мы понимали в этом параграфе такое движение, при котором по истечении периода прямоугольные координаты всех материальных точек возвращаются к своим прежним значениям. В то время как периодические движения показывают полнейшую аналогию со вторым законом, центральное движение по незамкнутой траектории, описанное в конце § 41 [166 ] и в § 44 в качестве примера 2, дает пример непериодического движения, обладающего следующими свойствами: оно очень похоже на движение, рассмотренное в этом параграфе, и даже может быть превращено в подлинно циклическое движение ( отнюдь не моноциклическое) путем рассмотрения бесконечно большого числа материальных точек, движущихся в одной и той же плоскости; однако для последнего движения даже при фиксированном положении v точек ( магнитов, от которых зависят значения Я и а), а тем более при меняющемся положении v точек интеграл - -, распространенный на полный круговой процесс, уже не исчезает, ибо dQ, вообще говоря, не имеет интегрирующих множителей. [34]
В 1847 г. Стоксом, а затем Рейлеем было доказано существование при неограниченной глубине слабого переносного движения частиц жидкости в направлении распространения волн. В отличие от Герстнера Стоке рассматривал волновое движение как безвихревое, при котором частицы перемещаются по незамкнутым траекториям. [35]
Почему можно считать, что траектория атома обычно не замкнута. Чему равна вероятность обнаружить атом в квадрате площади S, расположенном в плоскости, по которой движется атом в случае незамкнутой траектории. [36]
Если же система попадает в одну из точек области, где выполнены неравенства (3.52) и (3.53), а (3.54) не выполнено, то система не может здесь оставаться, так как эта точка неустойчива, не может совершать и периодических движений вокруг этого неустойчивого состояния равновесия, так как предельные циклы не существуют. Следовательно, здесь мы снова встречаемся с возможностью разрыва в экспериментально снимаемых характеристиках компрессора, когда система самопроизвольно по той или иной незамкнутой траектории, в зависимости от начальных условий, смещается к новому состоянию равновесия, которое или само устойчиво, или вокруг него существует устойчивый предельный цикл. [37]
В рассматриваемой системе существует бесконечное всюду плотное семейство замкнутых траекторий. При этом незамкнутые траектории оказываются всюду плотными. Для исследования данного вопроса обратимся к теореме 2.9, из которой получаются важные следствия. [38]
Разработаны также методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем. [39]
 |
Бифуркация Хопфа. [40] |
Разбегание траекторий само по себе еще не приводит к стохастич-ному поведению. Необходимо еще существование некоторых статистических закономерностей, наличие средних по времени величин, связанных с тем, что система вновь и вновь возвращается в состояния, близкие к исходным. Такие движения возможны, если в фазовом пространстве имеются незамкнутые траектории, бесконечно и беспорядочно блуждающие внутри некоторой ограниченной области. Подобные траектории образуют инвариантные множества, которые в случае диссипативных систем являются аттракторами. [41]
Таким образом, мы получили следующие оснопшле элементарные сведения о траекториях. Траектория может ( шть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией. Эти сведения являются предварительными, таг -; как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным. [42]
На рис. 7 приведены кривые периода и амплитуды в зависимости от номера цикла колебаний п для нескольких значений начального смещения XQ. Поскольку шар колеблется ( или, строго говоря, движется) по довольно сложной трехмерной незамкнутой траектории, необходимо пояснить, что период всюду в расчетах измерялся по проекции этой траектории на плоскость XZ, а амплитуда колебаний - как максимальное расстояние центра шара от оси струи в плоскости XY. Оба рисунка демонстрируют четкую тенденцию к сходимости как периода, так и амплитуды колебаний к некоторым стационарным значениям. [43]
Обсуждаются общие свойства пространства решений: симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства решений, соответствующих колебательной области: свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области: существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [44]
В четырехмерном случае картина иная. Неподвижной точкой является только начало координат. Если углы а и р несоизмеримы, то каждая точка пространства, не принадлежащая ни одной из этих двух плоскостей, совершает движение по некоторой незамкнутой траектории, не имеющей самопересечений, и никогда не возвращается в исходное положение. [45]
Страницы: 1 2 3 4