Cтраница 3
Начальный трансфинит о) а называется слабо недостижимым, если он регулярен, а а, - предельный трансфинит. [31]
Для тотальной проективности р-группы А необходимо и достаточно, чтобы ра Extz ( А / раА, В) 0 для любых группы В и трансфинита а. Имеется и конструктивное описание тотально проективных групп. [32]
К конфинален предельному трансфиниту а, если А, является пределом некоторой возрастающей а - последовательности. Трансфинит, конфинальный предельному, сам является предельным. [33]
А, конфинален предельному трансфиниту а, если К является пределом некоторой возрастающей а - последовательности. Трансфинит, конфинальный предельному, сам является предельным. [34]
В частности, эта точка зрения позволяет говорить о мощности трансфинита се. Наименьший среди трансфинитов данной бесконечной мощности называется начальным. Начальный трансфинит счетной мощности как правило обозначается через ю или оо. Как цепь он изоморфен цепи натуральных чисел с естественным порядком. Множество всех начальных трансфинитов мощности, меньшей данной, скажем га, вполне упорядочено и потому может отождествляться с некоторым трансфинитом се. Начальный трансфинит мощности m обозначается через юа. Различным начальным трансфинитам соответствуют различные индексы. [35]
В частности, эта точка зрения позволяет говорить о мощности трансфинита а. Наименьший среди трансфинитов данной бесконечной мощности называется начальным. Начальный трансфинит счетной мощности как правило обозначается через со или w0 - Как цепь он изоморфен цепи натуральных чисел с естественным порядком. Множество всех начальных трансфинитов мощности, меньшей данной, скажем т, вполне упорядочено и потому может отождествляться с некоторым трансфинитбм а. Начальный трансфинит мощности m обозначается через соа. Трансфинит а называется индексом начального трансфинита мощности га. Различным начальным трансфинитам соответствуют различные индексы. [36]
Если а - некоторый трансфинит, то трансфинитной последовательностью типа а, или a - последовательностью называется отображение ф начального отрезка [ 0, ее) в какое-либо множество А. Если множество А состоит из трансфинитов ( нельзя сказать подмножество множества трансфинитов, ибо совокупность всех трансфинитов множеством не является. [37]
Именно, пусть для некоторого трансфинита А топология Х определена. [38]
Обозначим через и порядковый тип множества M ( jj всех счетных трансфинитов. Порядковый тип и является порядковым числом то есть трансфинитом. Бели он существует ( обычно ситуация, когда wi не существует, не обсуждается) тогда ш следует за всеми трансфинитами, отвечающими конечной или счетной мощности. Тогда мощность его множества М несчетна. [39]
Если а - некоторый трансфинит, то трансфинитной последовательностью типа а, или a - последовательностью называется отображение ф начального отрезка [ 0, ее) в какое-либо множество А. Если множество А состоит из трансфинитов ( нельзя сказать подмножество множества трансфинитов, ибо совокупность всех трансфинитов множеством не является. [40]
Допустим теперь, что существует бесконечное множество А, для которого лемма не верна. Поскольку каждое множество можно отождествить с отрезком [ О, Q), где Q-некоторый трансфинит, то существуют бесконечные трансфиниты, для которых лемма не верна. Пусть Q - наименьший из таких трансфинитов. [41]
Если а - некоторый трансфинит, то трансфинитной последовательностью типа а, или a - последовательностью называется отображение ф начального отрезка [ 0, ее) в какое-либо множество А. Если множество А состоит из трансфинитов ( нельзя сказать подмножество множества трансфинитов, ибо совокупность всех трансфинитов множеством не является. [42]
Допустим теперь, что существует бесконечное множество А, для которого лемма не верна. Поскольку каждое множество можно отождествить с отрезком [ О, Q), где Q-некоторый трансфинит, то существуют бесконечные трансфиниты, для которых лемма не верна. Пусть Q - наименьший из таких трансфинитов. [43]
Возникающая таким образом возрастающая цепочка классов алгебр называется цепью Куроша. Алгебра R оказывается % - радикальной тогда и только тогда, когда R е2Я ( а) для некоторого трансфинита а. Если - класс всех алгебр над полем Ф, а класс Ш1 ф - ЭЛ ( 1) вместе со всякой алгеброй содержит все ее идеалы, то 2R ( a) 7 2Я ( а 1) для любого трансфинита а. Напротив, если все алгебры из ассоциативны, то SKW даш а) для любого а ( см. [1], С. [44]
Всякая несчетная разреженная цепь содержит подцепь, изоморфную MI или ю ( см. [25], с. Трансфиниты o) a i регулярны при любом а ( см. [9], с. Каждый предельный трансфинит ее конфинален некоторому начальному трансфиниту. [45]