Cтраница 3
Вскоре после этого Абель описал те алгебраические уравнения, которые могут быть решены в радикалах, и это дало ему возможность обсуждать осуществимость специфически геометрических задач, таких как трисекция угла. [31]
После этого является вполне доказанным наше утверждение о том, что невозможно выполнить посредством конечного числа операций ( с циркулем и линейкой) деление на три части произвольного угла ф; таким образом, все старания людей, занимающихся трисекцией угла, обречены на вечную бесплодность. [32]
Число V 2 не целое и не принадлежит ни к числам первого типа, ни к числам второго типа, ни к числам третьего типа и вообще не принадлежит к числам любого из более высоких типов, поэтому построить его с помощью циркуля и линейки нельзя. Аналогично доказывается и невозможность трисекции угла. [33]
В VIII предложении Лемм Архимед решил задачу о делении угла на три равные части при помощи вставки отрезка между прямой и кругом ( ср. Он показал, что для трисекции угла АСВ ( С - центр круга) достаточно вставить между продолжением диаметра AD и окружностью отрезок F. F, равный радиусу и при продолжении проходящий через точку В ( см. настоящий перевод, стр. [34]
Из школьного курса известно, как осуществляется би-секция угла при помощи циркуля и линейки. Еще у древних греков возникла аналогичная задача о трисекции угла при помощи циркуля и линейки. Однако было доказано, что трисекцию произвольного угла невозможно осуществить этими средствами. [35]
Отсюда ясно, как можно воспользоваться конхоидой для трисекции угла. [36]
Неразложимость такого уравнения над полем рациональных функций от а доказать легко: если бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель, то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от а; но линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как и выше, получается, что трисекция угла неосуществима с помощью циркуля и линейки. [37]
Этот исторический промежуток - знаменуется трогим заданием математических алгоритмов и постановкой ряда Кфупных алгоритмических проблем, которые не поддавались решеник традиционными методами. В их числе знаменитые геометрические задачи древних греков - трисекция угла и квадратура круга, проблема разрешимости уравнений в радикалах, приведшая к созданию деории Галуа, а также ряд алгоритмически нерешаемых задач, На этом этапе произошло осознание понятия алгоритма как отдельного объекта изучения, что, в конечном итоге, привело к созданию строгой математической теории алгоритмов. [38]
Неразложимость такого уравнения над полем рациональных функций от а доказать легко: если бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель, то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от а; но линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как и выше, получается, что трисекция угла неосуществима с помощью циркуля и линейки. [39]
Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс и другие. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений. Независимо от Виета Декарт, Ньютон, Эйлер дали свои решения задачи Аполлония, а Ферма решил аналогичную задачу для пространства. Декарт, создатель аналитической геометрии, успешно применял метод координат к решению задач на построение. [40]
Все эти свойства конхоиды позволяют установить ее внешний вид. Конхоида была введена греческим геометром Никомедом для решения задачи о трисекции угла. [41]
Очевидно, что существуют углы, которые можно разделить на три равные по величине части с помощью циркуля и линейки, например прямой угол. Задачу, однако, следует понимать таким образом, что требуется указать алгоритм трисекции угла с помощью циркуля и линейки, применимый к любому углу. [42]
Другим примером логической ошибки служит ошибочное определение. Парижская Эксельсиор однажды сообщила о столкновении между полковником Монтей-лем, представившим Академии работу с решением древней задачи о трисекции угла, и секретарем Академии математиком Дарбу, отклонившим эту работу. [43]
Интересно отметить, что некоторые задачи на нахождение алгоритма, долго не поддававшиеся решению, оказались неразрешимыми. К их числу, например, относятся три очень древние геометрические проблемы: задача о квадратуре круга, задача о трисекции угла и задача об удвоении куба. [44]
А ведь многим из них казалось, что они уже почти нашли его, что он совсем близко, рядом. Сколько труда положили ученые на попытки вывести пятый постулат Евклида из других аксиом его геометрии, на решение задач о квадратуре круга или трисекции угла, пока не было доказано, что решения этих задач не существует. [45]