Cтраница 2
Исходя из уравнения Лиувилля с помощью различных приближенных процедур удается получать так называемые кинетические уравнения, которые описывают эволюцию во времени огрубленных функций распределения. Общей чертой кинетических уравнений является их необратимый характер: различным начальным грубым распределениям может соответствовать одно конечное асимптотическое распределение, устанавливающееся по прошествии достаточного времени. По виду грубой функции распределения в данный момент времени невозможно поэтому точно определить, каким было это распределение в предшествующие моменты. [16]
Исходя из уравнения Лиувилля - Неймана, авторы в общем виде вывели основное немарковское уравнение, описывающее перенос возбуждения. [17]
Тем самым уравнение Лиувилля не описывает установление равновесного состояния, для которого при неизменной средней энергии энтропия максимальна. Этот результат принадлежит Гиббсу ( см. § 5 гл. [18]
Являясь решением уравнения Лиувилля, полная функция распределения или статистический оператор меняются, в общем случае, с течением времени. Макроскопическое состояние при этом называют неравновесным состоянием, а о его развитии во времени говорят как о неравновесном процессе в системе. [19]
С помощью уравнения Лиувилля можно понять, что необходимо знать для получения уравнения, которому подчиняется одно-частичная функция распределения. [20]
На базе уравнения Лиувилля для совокупности молекул системы, состоящей из газопаровой смеси и зародыша жидкой фазы, выводится кинетическое уравнение типа Фоккера-Планка для функции распределения зародыша по размерам. При этом для коэффициента нуклеации получено выражение типа формулы Кубе через автокорреляционную функцию флуктуации диффузионного потока молекул пара в газопаровой смеси. Расчет этой формулы в двух предельных режимах ( сво-бодномолекулярном и гидродинамическом) приводит к известным выражениям классической теории нуклеации. [21]
Вернемся к уравнению Лиувилля (2.3.1) и будем искать решение, которое совпадает с квазиравновесным распределением Qq ( t) в отдаленном прошлом. [22]
Будучи эквивалентным уравнению Лиувилля, уравнение (9.9) само по себе не годится для сокращенного описания неравновесных процессов. [23]
Оно является уравнением Лиувилля, соответствующим нашей модели, и говорит нам, как эволюционирует во времени начальная плотность множества систем, если эти системы подчиняются уравнениям движения. Исследуемая нами модель, естественно, подобрана таким образом, чтобы это уравнение можно было решить. Условимся теперь, поскольку в самой уже нашей проблеме коренится понятие вероятности, трактовать эту задачу теоретико-вероятностным образом. [24]
Подставим (60.9) в уравнение Лиувилля. [25]
Очевидно, что уравнение Лиувилля ( 32) Li-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный ( в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак i, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения ( правая часть в ( 29)), нарушает Li-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом: как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики. Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом неунитарным преобразованием. [26]
Таким образом, уравнение Лиувилля представляет собой иную запись уравнений движения, содержащую информацию не только о данном движении, но также о движениях, близких к нему, в смысле, который следует кратко пояснить. Если начальные данные известны абсолютно точно, то Р является дельта-функцией в момент времени t 0 и решение уравнения Лиувилля будет дельта-функцией во все последующие моменты времени: точка z z ( z0 /), в которой дельта-функция имеет пик, дает решение уравнений движения ( заметим, что для применения уравнения Лиувилля к этому весьма идеализированному случаю необходимо обратиться к понятию производной от обобщенной функции, которое ради краткости не рассматривалось в разд. Если, что более реально, задана просто плотность вероятности начальных данных, то уравнение Лиувилля определяет не только наиболее вероятное движение, но также и распределение отклонений от него. [27]
Очевидно, что уравнение Лиувилля ( 32) Lf-инвариантно. [28]
Проблема выбора решения уравнения Лиувилля возникает даже в случае равновесного состояния. [29]
Вначале при выводе уравнения Лиувилля ограничимся рассмотрением важного класса макросистем, которые называются гамиль-тоновыми. [30]