Cтраница 3
Эрмит использовал модулярные функции при решении уравнения пятой степени. [31]
Возможно, хотя и не особенно полезно, решить также кубические уравнения или уравнения четвертой степени таким же образом, что и квадратные. Несколько столетий математики пытались разработать аналогичные алгоритмы для уравнений пятой степени ( их общая форма: ах5 Ьх4 сх3 dx ex f 0) и уравнений более высоких степеней, но только в 1846 г. было доказано, что таких алгоритмов не существует. [32]
Характер токов, возникающих при выключении, определяется этим уравнением. Однако этот способ уже при трех двигателях приводит к уравнению пятой степени и решение его занимает много времени. [33]
Решить задачу - значит свести ее к более простой задаче. Постепенно люди начали приходить к выводу, что, возможно, уравнение пятой степени нельзя свести к чему-либо более простому. [34]
Для трехфазного синхронного генератора, имеющего на роторе кроме обмотки возбуждения еще успокоительную обмотку, выражения для токов id ( р) и iq ( p) имеют тот же самый вид (7.21), что и для синхронного генератора без успокоительной обмотки. Характеристическое уравнение F2 ( р) 0 для этого случая станет уравнением пятой степени и, как известно, решения а общем виде не имеет. Нахождение корней этого уравнения возможно только численным методом. Этот метод не позволяет дать физическую интерпретацию процесса, поэтому к нему не обращаемся. Рассмотрим решение задачи в. [35]
В записных книжках Золотарева имеются заметки по теории эллиптических функций, о применении модулярных уравнений, о приложениях эллиптических функций к теории чисел и к интегрированию. При этом он часто упоминает имя и работы Эрмита об эллиптических функциях, об уравнениях пятой степени, его Курс анализа для Политехнической школы. Среди вещей, которые необходимо использовать в связи с вычислением числа классов квадратичных форм отрицательного определителя, Золотарев записывает исследования Эрмита Кро-некера, Жубера, Дирихле. В фрагменте Приложение эллиптических функций к теории чисел 11 Золотарев сравнивает исследования Якоби, Эрмита, Кронекера, Дирихле о числе классов квадратичных форм отрицательного детерминанта. [36]
Число действительных корней уравнения с действительными коэффициентами имеет ту же четность, что и степень уравнения. Например, уравнение четвертой степени может иметь четыре, два или ни одного действительного корня, а уравнение пятой степени - пять, три или один корень. [37]
Эрмит основывался на сочинении Лагранжа [ II, 266 ], где знаменитый математик установил зависимость между алгебраическим решением общего уравнения пятой степени и разложением на множители специального уравнения шестой степени, которое назвал приведенным. Если бы это приведенное уравнение было разложимо на рациональные множители второй и третьей степени то можно было бы найти решение уравнения пятой степени. [38]
Существуют критерии устойчивости, позволяющие по характеристическому уравнению замкнутой системы определять устойчивость без непосредственного отыскания корней уравнения. Эти критерии очень важны, поскольку решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени уже весьма затруднительно, а начиная с уравнений пятой степени - невозможно. Критерии представляют собой систему неравенств, выполнение которых обеспечивает устойчивость системы авторегулирования. [39]
Под Р следует понимать давление, оказываемое газом на окружающую его среду, а под Умол. Но и уравнение состояния Ван-дер - Ваальса ни для какого вещества не является точным, поскольку межмолекулярные силы подчиняются не такому простому закону, который Ван-дер - Ваальс положил в основу своего уравнения. Уравнение пятой степени Планка [57] представляет собой уравнение состояния, наиболее близко отвечающее реальному поведению газов и паров. [40]
Под Р следует понимать давление, оказываемое газом на окружающую его среду, а под FMon. Но и уравнение состояния Ван-дер - Ваальса ни для какого вещества не является точным, поскольку межмолекулярные силы подчиняются не такому простому закону, который Ван-дер - Ваальс положил в основу своего уравнения. Уравнение пятой степени Планка [57 ] представляет собой уравнение состояния, наиболее близко отвечающее реальному поведению газов и паров. [41]
Группа икосаэдра хорошо известна в математике благодаря той роли, которую она сыграла в исследованиях Галуа о разрешимости уравнения пятой степени общего вида. Галуа показал, что свойства решений любого алгебраического уравнения зависят от группы подстановок, связанной с этим уравнением, и что разрешимость уравнения в сущности определяется наличием или отсутствием нормальных подгрупп и свойствами факторгрупп по этим подгруппам. Для уравнений пятой степени общего вида, например, решающим оказывается то обстоятельство, что группа икосаэдра не имеет собственных нормальных подгрупп. Эту группу мы рассмотрим в приложении. [42]
В этом случае был бы получен ответ не только на вопрос, устойчива ли система, но и каковы показатели качества процесса регулирования. Однако, как уже было сказано выше, решение характеристического уравнения уже третьей степени приводит к достаточно сложным выражениям. Решение же уравнения пятой степени и выше в общем случае в радикалах невозможно. [43]
И после этого излагает метод Эрмита. Он рассматривает работу Эрмита об уравнении пятой степени [ I, 37 ], его заметку О некоторых алгебраических теоремах и решении уравнения 4 - й степени [ I, 40 ] 14 подробно конспектирует его статью об экспоненциальной функции [ I, 89 ] 15 упоминает исследования о точках перегиба кривых третьего порядка. По Эрмиту он изучает общие свойства модулярных уравнений для п простого нечетного 17 по-видимому, желая написать статью о модулярных уравнениях. Программа такой работы у него записана, и первым пунктом стоит изучение свойств модулярных уравнений. [44]
Поэтому, приступая к решению любого алгебраического уравнения, нужно задаться вопросом, можно ли это уравнение свести к двум более простым уравнениям. Стоит заметить, что математики бились более 250 лет над проблемой решения уравнения пятой степени, прежде чем они поняли, что пытались сделать невозможное. [45]