Cтраница 3
Остается надежда на бесконечномерную редукцию. Так, например, многообразия модулей инстантонов наделяются гиперкэ-леровой структурой с помощью интерпретации уравнений Янга - Миллса как уравнений отображения моментов, но эти многообразия либо некомпактны, либо имеют особенности, соответствующие приводимым связностям. Однако возможно, что, допуская связности с особенностями, мы получим более регулярные многообразия модулей. Это не означает, что нам удастся в явном виде отыскать на них метрику ( работа [ АН ] показывает, что явный вид дается большим трудом), но мы получим более глубокое понимание универсальности геометрии, связанной с кватернионами. [31]
С огромным удовольствием посвящаем эту статью Юрию Ивановичу Манину. Именно Юрий Иванович много лет назад ввел одного из нас в прекрасный мир уравнений Янга - Бакстера. В некотором смысле, настоящая работа предлагает такую конструкцию для постоянных Д - матриц. [32]
Вейля (17.17), (17.18) в каком-нибудь ( все равно каком) внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы рассмотрим случай Q 1, когда в качестве внешнего поля можно взять инстантонное решение евклидовых уравнений Янга - Миллса. [33]
Вейля (4.17), (4.18) в каком-нибудь ( все равно каком) внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы рассмотрим случай Q 1, когда в качестве внешнего поля можно взять инстантонное решение евклидовых уравнений Янга - Миллса. [34]
Ясно, что в случае, когда алгебра абелева и одномерна, мы приходим к классическому понятию закона сохранения. Процедура замены абелевой алгебры Ли неабелевой аналогична той, которую производят физики, переходя от уравнений Максвелла к уравнениям Янга - Миллса. [35]
Четыре-вектор а1м, в решении определяет положение ин-стантона. Плотность действия в (4.77) локализована вблизи Ун ( х - ai) n 0 - В силу трансляционной инвариантности уравнения Янга - Миллса точку аг можно выбрать произвольным образом. Точно так же константа Klt определяющая размер инстантона в смысле плотности действия, может быть выбрана произвольной, но не нулевой. Эта свобода связана с масштабной инвариантностью системы Янга - Миллса относительно преобразований Хр, - и А - КА при любом К. [36]
Эффект Ааронова - Бома можно связать с такими конфигурациями калибровочного поля, которые возможны лишь в топологически нетривиальном ( неевклидовом) пространстве - в данном случае плоскости с дыркой. Дается обобщение результатов § 3.3 на случай, когда скалярное поле обладает 0 ( 3) - симметриеЗ, которое приводит к уравнениям Янга - Миллса. Геометрическая трактовка калибровочных теорий выявляет аналогии с общей теорией относительности и приводит к обобщенным формулам для ковариантных производных, которые дают известные результаты в случае электродинамики и теории Янга - Миллса и применимы в случае произвольной группы симметрии. Дается краткий обзор случая группы St / ( 3), в котором калибровочным полем является глюон. [37]
Таким образом, мы приходим к топологической классификации евклидовых конфигураций калибровочного поля с конечным евклидовым действием. Минимум действия среди полей с одинаковым топологическим зарядом Q ( т.е. в каждом топологическом секторе), если он существует, представляет собой решение уравнений Янга - Миллса. [38]
О, т.е. форма F антиазтодуальна. Более того, если F автодуальна или антиавтодуальна, то уравнение (2.15) следует из тояздества БЬЯНЙИ (2.16), так что F автоматически является решением уравнений Янга - Миллса. [39]
Эта форма интерпретируется как калибровочное поле - переносчик того или иного взаимодействия. Эволюция калибровочного поля описывается в терминах функционала действия jTr ( JFA F), уравнения Эйлера - Лагранжа которого имеют видм D F 0 и называются уравнениями Янга - Миллса. Автоморфизмы главного расслоения Р называются калибровочными преобразованиями. [40]
Янга - Миллса, но все решения не обязательно должны быть самодуальными или антисамодуальными. Насколько нам известно, такие решения еще не найдены, но отсутствует также и доказательство, что самодуальные и антисамодуальные поля есть единственные решения с конечным действием евклидовых уравнений Янга - Миллса. Инстантоны Янга - Миллса привлекают внимание даже на классическом уровне как интересные точные решения нетривиальных нелинейных полевых уравнений. Еще более важную роль они играют в квантовых калибровочных теориях. Эти исследования, начавшиеся с работы т Хофта [331], рассматриваются в последних двух главах. [41]
Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга - Миллса для однородного двухкомпонентного поля ( см, § 8 гл. Уравнения ( 5 21) допускают решение с ( 1 / / 2 1 / / 2) Т -, собственные значения матрицы Гессе Г равны - 1 и 3, Следовательно, Apj j / 7 и Др2 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга - Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. [42]
Уравнения Максвелла описывают электромагнитные взаимодействия. Уравнения Янга - Миллса описывают класс взаимодействий между частицами, называемых слабыми взаимодействиями и встречающихся, например, в некоторых процессах радиоактивного распада. [43]
Мы изучаем связности, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений Янга - Миллса. На этом пространстве определено естественное действие группы & автоморфизмов расслоения. Уравнения Янга - Миллса инвариантны относительно этого действия, поэтому наше пространство модулей JU, является подмножеством в пространстве орбит & / &. Дональдеона, опираясь на топологические свойства пространства JH, которые устанавливаются в последующих главах. [44]
Мы видели, насколько полезной является теория Янга - Миллса при развитии полной полевой теории динамики дефектов. Так как в данной книге обе эти теории оказываются в сильной взаимной связи, можно надеяться на то, что лучшее понимание природы дефектов в материалах прольет свет на некоторые аспекты физики элементарных частиц, для которой изначально и предназначалась теория Янга - Миллса. Для очень больших плотностей энергии дисклинаций коэффициент s2 в уравнениях баланса дисклинаций DG 0 соответствует уравнениям Янга - Миллса для свободных полей в физике элементарных частиц. Так как для исходных групп обеих теорий SO ( 3) и SU ( 2) имеет место изоморфизм их алгебр Ли, уравнения свободных полей Янга - Миллса и полевые уравнения динамики дисклинаций оказываются связанными между собой. Тем самым известные решения уравнений в одной теории могут быть использованы в другой. Известное статическое решение уравнения Янга - Миллса - решение Янга - By [16], примененное к динамике дефектов, действительно позволяет получить интересные результаты. Аналогичным образом новые решения, которые будут получены в динамике дефектов, могут прояснить существенные аспекты физики частиц. [45]