Cтраница 4
Два главных значения кривизны kl и k2 или равны и имеют противоположные знаки, или как-то иначе компенсируют друг друга. Если только не плоскость, минимальной поверхностью обычно является седлообразная поверхность. К таким поверхностям относятся поверхности, изображенные на рис. 31.3 и 31.4. Минимальные поверхности представляют собой решения уравнения Янга - Лапласа для поверхностей в капиллярах при условии, что нормальное давление непрерывно на поверхности. Таким образом, минимальная поверхность может разделять две непрерывные жидкие фазы, находящиеся при одинаковом гидростатическом давлении. [46]
Пуанкаре), то и его универсальное накрытие не содержит фальшивых клеток, пока не существует чисто топологического доказательства. Из всех геометрических приложении анализа к топологии теорема об эквивариантной петле и ее следствия в топологии трехмерных многообразий теснее всего связаны с теоремой Дональдеона в топологии четырехмерных многообразий. Поэтому неудивительно, что те же топологи, которые несколько лет назад занималась минимальными поверхностями в трехмерных многообразиях, теперь изучают уравнения Янга - Миллса на четырехмерных многообразиях. [47]
За десять лет, прошедшие с момента первого издания этой книги, калибровочно инвариантные модели взаимодействий элементарных частиц превратились из привлекательной правдоподобной гипотезы в общепризнанную теорию, подтвержденную экспериментом. Поэтому естественно, что к разработке методов теории калибровочных полей было привлечено внимание подавляющего большинства специалистов по квантовой теории поля. К новым интересным направлениям, возникшим за это время, относятся формулировка калибровочных теорий на решетке, исследование нетривиальных классических решений уравнений Янга - Миллса и квантование в их окрестности, применение методов алгебраической топологии в теории калибровочных полей. При подготовке второго издания перед нами возникла трудная дилемма: значительно расширить книгу, включив в нее серьезное обсуждение этих новых направлений, или в основном сохранить план, принятый в первом издании. Мы остановились на втором варианте, поскольку, по нашему мнению, перечисленные выше многообещающие направления до сих пор не приобрели законченной формы. [48]
Согласно формуле (2.6), калибровочное преобразование з переводит d в ci - ictw. Значит, калибровочные преобразования транзитивно действуют на пространстве связностей Янга - Миллса. Другими словами, пространство модулей для уравнений Янга - Миллса (2.15) - (2.16) на расслоении Я состоит из единственной точки. [49]
JH является гладким пятимерным многообразием с конечным числом особых точек. Используемый нами подход отличается от подхода Дональдсона. Возмущение пространства модулей JH у Дональдсо-на не индуцировано возмущением метрики, и его более абстрактная постановка несколько упрощает его доказательство. Наши рассуждения немного сложнее, зато полученное нами возмущенное пространство модулей по-прежнему является пространством решений уравнений Янга - Миллса, только теперь для возмущенной метрики на базе. В обоих подходах для построения возмущений применяется теорема Сарда - Смейла. [50]